《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄

第7章 傅里叶解析

一、 研究频率成分的步骤

傅里叶解析是求解原波形（函数）由哪些频率的波以怎样的大小组合而成的方法。

1. 步骤1：首先，为了将复杂波形转为周期函数，从波形中取出一段区间。将这个区间看做最大的周期，对应的频率为1Hz，为最小的频率。
   取出1秒长度的区间中含有振动1000次的成分是频率为1kHz的频率成分。
2. 步骤2：从最低频率开始，到可能出现的最高频率，需要对所有频率一一进行分析。
3. 步骤3：从切取的波形中分析出某种特定的频率成分，需要使用滤波器，将成分一个一个的分解出来。
4. 步骤4：测量分解出来的频率成分的量，然后依次排开，就得到了频率谱。

二、 傅里叶系数

F(x)=12a0+a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+ancosnx+...F(x)=\frac{1}{2}a_0+a_1cosx+a_2cos2x+a_3cos3x+...+a_ncosnx+...F(x)=21​a0​+a1​cosx+a2​cos2x+a3​cos3x+...+an​cosnx+...
+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...+bnsinnx+...+b_1sinx+b_2sin2x+b_3sin3x+...+b_nsinnx+...+b1​sinx+b2​sin2x+b3​sin3x+...+bn​sinnx+...
=12a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)=\frac{1}{2}a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)=21​a0​+n=1∑∞​(an​cosnx+bn​sinnx)
如果F(x)是随时间变化的函数，用F(t)表示。
这里a0a_0a0​，ana_nan​，bnb_nbn​ 叫做傅里叶系数，

步骤3就是求傅里叶系数。

• a0a_0a0​决定波形的全体值在y轴上的上下位置的值。
• 从各种频率成分中，抽取某一特定频率成分，必须想到的是“函数的正交”，由于函数正交的关系，它们乘积的定积分的结果为0，而sinnx和cosnx都与自身不成正交关系，都有一定的值。因此，正交关系的性质，使频率成分的分解成为可能。
• 首先看cos的傅里叶系数ana_nan​，如果想要结果只剩下ancosnxa_ncosnxan​cosnx，那么将F(x)全体乘以cosnx，然后做定积分。因为其它正交积分为0，所以只剩下一个cosnx的值。这样ana_nan​的值就求出来了。
  ∫02πsinnxsinnxdx=∫02π12(1−cos2nx)dx\int_0^{2\pi} sinnxsinnxdx=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}(1-cos2nx)dx∫02π​sinnxsinnxdx=∫02π​21​(1−cos2nx)dx
  =12∫02π1dx−12∫02πcos2nxdx=12[x−12nsin2nx]02π=π=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}1dx-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}cos2nxdx=\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2n}sin2nx]^{2\pi}_0={\pi}=21​∫02π​1dx−21​∫02π​cos2nxdx=21​[x−2n1​sin2nx]02π​=π
  同样，cos2nxcos^2nxcos2nx的积分结果也为π{\pi}π
  整理得到傅里叶系数的三个表达式：
  an=1π∫02πF(x)cosnxdxa_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}F(x)cosnxdxan​=π1​∫02π​F(x)cosnxdx
  bn=1π∫02πF(x)sinnxdxb_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}F(x)sinnxdxbn​=π1​∫02π​F(x)sinnxdx
  a0=12π∫02πF(x)dxa_0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}F(x)dxa0​=2π1​∫02π​F(x)dx
  

第四步：在研究频率谱时，傅里叶系数并不完全等于不同成分的大小，因此需要求解频率成分的大小。求r
rn=an2+bn2r_n=\sqrt{a^2_n+b^2_n}rn​=an2​+bn2​​
第五步，将第四步求的r 从小到大排列画在图形中就得到了频率谱。

三、 音叉的频率谱

轻轻敲音叉，能感觉“拉”音的基本频率400Hz的振动。拉=440Hz

四、 吉他的频率谱

吉他单音“哆C”的分析，波形和频谱


“拉”音的440Hz频率是国际标准频率，国际标准的“哆”音频率是261.63Hz。解析结果中最大的频率在264Hz处，很接近。528Hz、797Hz、1061Hz、1325Hz、1593Hz…是“哆”音频率的2倍、3倍、4倍…这些频率的幅度大小随着频率的增大而渐渐变小，可以说，基准音“哆”的高音调波中既含有偶数倍基准频率也含有奇数倍基准频率。

“哆”和“嗦”的频率比=2:3 ；“哆”和“咪”的频率比=6:7 ；“咪”和“嗦”的频率比=7:9 。频率比值越简单，音能之间越能彼此加强。重要的频率成分没有改变，所以和音的音色比较浓厚。

五、 人的声音频率谱

通过声带振动形成的含有许多频率成分的空气的振动，通过口腔或鼻腔的时候，根据它们的形状会组合成具有许多特征的频率成分，即口腔和鼻腔相当于滤波器，这样人就能发出各种各样的声音了。

六、 柔和的声音

音域是发出最低音到最高音的音程。音域广是好嗓子的重要基础。接着是，频率谱中有比较简单的各种频率成分的共鸣关系。
共鸣关系是指低音，即以某个频率为基准，完好的含有这个频率的整数倍的频率的波的状态。

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