利息理论标准型年金的再投资问题

我们先从一个简单的例子入手理解标准型年金的再投资问题：假设我们有一个四年期年利率为10%的单位期末付标准型年金，一个四年期年利率为10%10\%10%的单位期初付标准型年金，每一期的利息用于再投资，假设再投资收益率为8%8\%8%，现在要计算第四年末这两笔年金的累积值。

如果我们不考虑再投资，那么这两笔年金的现金流如下：

第i期末	0	1	2	3	4
期初付年金	1	1	1	1
期末付年金		1	1	1	1

这两笔年金的利息现金流（10%）如下：

第i期末	0	1	2	3	4
期初付年金	0	0.1	0.2	0.3	0.4
期末付年金		0	0.1	0.2	0.3

简单解释一下这张表。先看期初付年金的部分，第一期期初的现金流的利息在第一期期末支付，为1×10%1 \times 10\%1×10%，第一期末到第二期末，参与计息的本金为2（第0期末+第一期末），因此在第二期末产生的利息为2×10%2 \times 10\%2×10%。其他的数字以此类推。

到这里大家估计会发现好像有点违和了，因为按这种方式来计算利息，期初付年金第0期末的现金流累积到第二期利息只有2×1×10%2 \times 1 \times 10\%2×1×10%，是按单利分两期计息的结果，很多同学就会因此觉得不适应。这里就要提一下在利息理论语境下的再投资的含义了，它指的是把收到的利息红利再进行投资，而我们习惯的复利，比如期初付年金第0期末的现金流累积到第二期利息，就应该是从0到1利息为1×10%1 \times 10\%1×10%，从1到2利息为1.1×10%1.1 \times 10\%1.1×10%，在计息过程中，默认了前期利息会按相同的利率进行再投资，因此当我们要单独讨论再投资问题，并且再投资利率与年金利率不相同时，就不能简单地使用复利了，而是把每一期的利息都列出来，在计算利息的利息并加总。

所以上面两笔年金利息的累积值为

第i期末	0	1	2	3	4
期初付年金	0	0.1×(1.08)30.1\times (1.08)^30.1×(1.08)3	0.2×1.0820.2 \times 1.08^20.2×1.082	0.3×1.080.3 \times 1.080.3×1.08	0.4
期末付年金		0	0.1×1.0820.1 \times 1.08^20.1×1.082	0.2×1.080.2 \times 1.080.2×1.08	0.3

对于期初付年金，累积值为
1+1+1+1+0.1×(1.08)3+0.2×1.082+0.3×1.08+0.4=5.083251+1+1+1+0.1\times (1.08)^3+0.2\times 1.08^2+0.3 \times 1.08+0.4=5.083251+1+1+1+0.1×(1.08)3+0.2×1.082+0.3×1.08+0.4=5.08325

对于期末付年金，累积值为
1+1+1+1+0.1×(1.08)2+0.2×1.08+0.3=4.632641+1+1+1+0.1\times (1.08)^2+0.2\times 1.08+0.3 =4.632641+1+1+1+0.1×(1.08)2+0.2×1.08+0.3=4.63264
下面我们正式推导标准型年金再投资累积值的公式。
期初付年金 累积值S0S_0S0
将上例推广到nnn期，年金利率为iii，再投资收益率为jjj的情形，仿照上例计算可以写出
S0=n+∑k=1nki(1+j)n−kS_0=n+\sum_{k=1}^nki(1+j)^{n-k}S0=n+k=1∑nki(1+j)n−k

比较∑k=1nk(1+j)n−k\sum_{k=1}^nk(1+j)^{n-k}∑k=1nk(1+j)n−k与∑k=1nk(1+j)n+1−k\sum_{k=1}^nk(1+j)^{n+1-k}∑k=1nk(1+j)n+1−k，后者减前者为
j∑k=1nk(1+j)n−k=(1+j)n−n+[(1+j)n−1+⋯+(1+j)]=s¨n−nj\sum_{k=1}^nk(1+j)^{n-k}=(1+j)^n-n+[(1+j)^{n-1}+\cdots+(1+j)] =\ddot{s}_n-njk=1∑nk(1+j)n−k=(1+j)n−n+[(1+j)n−1+⋯+(1+j)]=s¨n−n

因此
S0=n+i(s¨n−n)j=n+i(Is)n∣jS_0 = n+\frac{i(\ddot{s}_n-n)}{j}=n+i(Is)_{n|j}S0=n+ji(s¨n−n)=n+i(Is)n∣j
期末付年金 累积值S1S_1S1
将上例推广到nnn期，年金利率为iii，再投资收益率为jjj的情形，仿照上例计算可以写出
S0=n+∑k=1n−1ki(1+j)n−1−kS_0=n+\sum_{k=1}^{n-1}ki(1+j)^{n-1-k}S0=n+k=1∑n−1ki(1+j)n−1−k

比较∑k=1n−1k(1+j)n−1−k\sum_{k=1}^{n-1}k(1+j)^{n-1-k}∑k=1n−1k(1+j)n−1−k与∑k=1n−1k(1+j)n−k\sum_{k=1}^{n-1}k(1+j)^{n-k}∑k=1n−1k(1+j)n−k，后者减前者为
j∑k=1n−1k(1+j)n−1−k=(1+j)n−1−(n−1)+[(1+j)n−2+⋯+(1+j)]=sn−nj\sum_{k=1}^{n-1}k(1+j)^{n-1-k}=(1+j)^{n-1}-(n-1)+[(1+j)^{n-2}+\cdots+(1+j)] =s_n-njk=1∑n−1k(1+j)n−1−k=(1+j)n−1−(n−1)+[(1+j)n−2+⋯+(1+j)]=sn−n

因此
S0=n+i(sn−n)j=n+i(Is)n−1∣jS_0 = n+\frac{i(s_n-n)}{j}=n+i(Is)_{n-1|j}S0=n+ji(sn−n)=n+i(Is)n−1∣j