问题

这一次的编程作业是完成一个类似于“华容道”的游戏——8 puzzle：

给定一个 N×NN\times NN×N 的网格图，其中有一个网格被挖空，其余网格标记为 1,2,3,⋯,N×N−11,2,3,\cdots, N\times N-11,2,3,⋯,N×N−1。每次可以将被挖空的网格与相邻被标记数字的网格交换，目标是移至成 1,2,3,4⋯,N×N−11,2,3,4\cdots, N\times N-11,2,3,4⋯,N×N−1 依次排列，最后一个网格被挖空的情况。

原题链接

思路

首先定义一个数据类型 Board，储存 N×NN\times NN×N 的二维数组，用 0 表示被挖空的网格，找出其相邻的 Board。定义每一个 Board 与目标 Board 之间的 Hamming 距离和 Manhattan 距离。定义一个新的数据类型 State，用来储存 Board、移动步数、前一个State。

接下来可以利用 A* search algorithm 来解决这个问题：先把初始 State 加入优先队列，然后每次删去 Manhattan 最小的 State，加入其相邻的 State（如果该 State 不曾在优先队列中出现过），直至删去的 State 的 Manhattan 距离为 0。

注意到，任意给定一个初始状态，未必能达到目标状态。可以利用逆序数来判断：当且仅当原初始状态在一维数组下是偶排列时，该问题是可行的。

代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Dec 10 16:34:21 2020@author: zxw
"""
import numpy as np
import timeN = 3
goal = [i+1 for i in range(N*N)]
goal[N*N-1] = 0class Board:
#construct a board from an N-by-N array of tilesdef __init__(self, tiles):self.Array = np.array(tiles).reshape(N,N)
# return number of blocks out of placedef hamming(self):temp = N*N-1-sum(sum(self.Array == Board(goal).Array))if sum(sum(np.argwhere(self.Array == 0))) == 2*(N-1):            return temp+1else:return temp# return sum of Manhattan distances between blocks and goaldef manhattan(self):manhattan_i = []for i in range(N*N-1):manhattan_i.append(sum(sum(abs(np.argwhere(self.Array == i+1)-np.argwhere(Board(goal).Array == i+1)))))return sum(manhattan_i) # does this board equal ydef equals(self,y):return sum(sum(self.Array == y.Array)) == N*N# return an Iterable of all neighboring board positionsdef neighbours(self):location = np.argwhere(self.Array==0)[0]x = location[0]y = location[1]neighbors = []copies= [self.Array.copy() for i in range(4)]if x != 0:copies[0][x][y] = self.Array[x-1][y]copies[0][x-1][y] = 0neighbors.append(Board(copies[0]))if x != N-1:copies[1][x][y] = self.Array[x+1][y]copies[1][x+1][y] = 0neighbors.append(Board(copies[1]))if y != 0:copies[2][x][y] = self.Array[x][y-1]copies[2][x][y-1] = 0neighbors.append(Board(copies[2]))if y != N-1:copies[3][x][y] = self.Array[x][y+1]copies[3][x][y+1] = 0        neighbors.append(Board(copies[3]))return neighbors
# return a string representation of the boarddef toString(self):for i in range(N):for j in range(N):if self.Array[i][j] != 0:print(str(self.Array[i][j])+'  ',end="")else:print('   ',end="")print('\n')class State:def __init__(self,board,move,pre):self.Board = boardself.Move = moveself.Pre = pre    class MinPQ:def __init__(self):self.states = []self.states.append(0)self.n = 0def insert(self, newstate):self.n = self.n+1self.states.append(newstate)self.swim(self.n)def delMin(self):Min = self.states[1]self.exch(1, self.n)self.n = self.n-1del self.states[self.n + 1]self.sink(1)return Mindef swim(self,k):if k <= 1:returnwhile (k > 1) & (self.states[int(k/2)].Board.manhattan() > self.states[k].Board.manhattan()):self.exch(int(k/2) , k)k = int(k/2)if k <= 1:returndef sink(self,k):while (2*k <= self.n):j = 2*kif (j < self.n):if (self.states[j].Board.manhattan() > self.states[j+1].Board.manhattan()):j = j+1if not self.states[k].Board.manhattan() > self.states[j].Board.manhattan():breakself.exch(k, j)k = jdef exch(self,i,j):t = self.states[i]self.states[i] = self.states[j]self.states[j] = tclass Solver:def __init__(self, board):self.initial_state = State(board,0,None)self.pq = MinPQ()self.pq.insert(self.initial_state)if self.isSolvable(): while self.pq.states[1].Board.manhattan() != 0:dequeue = self.pq.delMin()for neighbor in dequeue.Board.neighbours():if dequeue.Pre is None:self.pq.insert(State(neighbor,dequeue.Move+1,dequeue))elif not neighbor.equals(dequeue.Pre.Board):Flag = 1for state in self.pq.states:if state == 0:passelif state.Board.equals(neighbor):Flag = 0if Flag == 1:    self.pq.insert(State(neighbor,dequeue.Move+1,dequeue))else:print("It is not solvable!")def isSolvable(self):List = list(self.initial_state.Board.Array.reshape(1,N*N)[0])k = 0for i in range(1,N*N-1):for j in range(0,i):if List[j] > List[i]:k = k+1return k%2 == 0def moves(self):return self.pq.states[1].Movedef toString(self):Move_list = []Move_list.append(self.pq.states[1])while Move_list[-1].Pre != None:Move_list.append(Move_list[-1].Pre)Move_list.reverse()for each in Move_list:each.Board.toString()print('\n')if __name__ == '__main__':a = [0,1,3,4,2,5,7,8,6]test = Board(a)solve = Solver(test)solve.toString()b = [1,2,3,4,5,6,8,7,0]test = Board(b)solve = Solver(test)

结果

注：该算法仍有一个小问题：对于某些较复杂的初识状态（比如[2,1,3,4,5,6,8,7,0]），运行时间过久。不知可否能进一步改进？

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普林斯顿算法课作业的python实现（四）8 Puzzle

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