如何通俗理解海涅定理

如何通俗地解释海涅定理

同学们大家好，今天我们来学习海涅定理。

定理（海涅定理）. 对函数 $f(x)$ 定义域内的任意，且满足 $\lim_{n\to\infty} x_n=x_0$ ， $x_n\ne x_0, n\in\mathbb{Z}^+$ 的数列 $\{x_n\}$ ，有：

$\lim_{n\to\infty} f(x_n)=L\iff \lim_{x\to x_0}f(x)=L$

1 简述

我们知道，极限分为函数极限与数列极限

那么函数极限可以转换为数列极限吗？数列极限可以转换为函数极限吗？

在一定条件下是可以的，海涅定理干的就是这个事。首先来看函数极限转换为数列极限的情况。

2 函数极限转换为数列极限

假设函数在 $x_0$ 处的极限为 $L$

下面在函数定义域内取一数列,令这个数列的极限为 $x_0$

由此数列的函数值组成一个新的数列,这个数列的极限就是 $L$

为了看得更清楚一点，我们再建立一个坐标系,左边这个坐标系观察函数极限，横坐标是 $x$ ,纵坐标是 $f(x)$ ,右边这个坐标系观察数列极限，横坐标是 $n$ ,纵坐标是 $f(x_n)$ ,这里的 $x_n$ 就是靠近 $x_0$ 的那个数列

这个数列从左到右排列，可以看到，当 $n$ 不断增大时， $f(x_n)$ 不断靠近靠近一个值,这个值就是 $x_0$ 的极限值 $L$

也就是说，若函数在 $x_0$ 处的极限为 $L$ ,且 $x_n$ 是极限为 $x_0$ 的数列，则数列 $f(x_n)$ 的极限也为 $L$

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}f(x_n)=L$

这样我们就从函数极限推出了数列极限

3 数列极限转换为函数极限

还是把目光锁定在有函数曲线这幅图上,这个时候我们只有函数图像，而并不知道其在 $x_0$ 处的极限

在定义域内取一数列，使其极限为 $x_0$ ,并求出其函数值,可以看到这个数列的极限是 $L$

再在定义域内取一极限为 $x_0$ 的数列,可以看到，由它的函数值构成的数列的极限还是 $L$

若在定义域内，任取一个极限为 $x_0$ 的数列,它的函数值极限都是 $L$ 的话,那么函数在 $x_0$ 处的极限就为 $L$

为了将数列极限看得更清楚，这里还是建立一个 $n,f(x_n)$ 的坐标系

先看蓝色这个数列,这个数列前面讲过了，是从左到右排列的。这里可以很明显的看出，此数列极限为 $L$ 。

然后看红色数列,红色数列是从右到左排列的。可以看到，当 $n$ 趋于无穷时， $f(x_n)$ 的极限也为 $L$

最后来看黄色这个数列，这个数列是交错排列的,可以看到,当 $n$ 趋于无穷时,数列 $f(x_n)$ 的极限还是 $L$

也就是说，若任意一个数列 $f(x_n)$ ，它的极限都为 $L$ 。那么函数在 $x_0$ 处的极限就为 $L$ 。

$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L \Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=L$

4 总结

综合前面两节的内容，我们就完成了函数极限与数列极限的互相转换，这就是海涅定理的内容

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L\Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty}f(x_n)=L$

需要说明的是，海涅定理证明的是一个充要条件。也就是说，如果左边极限不存在，那么右边极限也不存在。反过来，如果右边极限不存在，左边极限也不存在。在实际应用中，我们经常利用这一点。下面来看一道例题。

5 例题

求 $\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{ x}$

5.1 思路

如果我们有做图软件，可以看到函数图像长这样， $x=0$ 就是白点那个位置。下面我们利用海涅定理，将这个函数极限问题转换为数列极限问题来解决

因为要求的极限的位置是0，所以我们首先在定义域内找出极限为0的数列，并求出其函数值

接着，我们再在定义域内找出一个极限为0的数列,并求出其函数值

可以很明显地看到，黄色数列和红色数列的极限不一致，因此函数在0点的极限不存在

最后，我们写出证明过程

5.2 证明

(1) $x_n=\frac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{x_n}=-1$

(2) $y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{y_n}=1$

(3)由于 $x_n,y_n$ 均为极限为0的数列，且

$\lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{x_n}\neq \lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{y_n}$

由海涅定理可得

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