Wiener维纳滤波基本原理及其算法实现

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1.算法背景：

信号滤波的实质为从观测信号中提取有效信号，随着数学理论的发展与实际应用的需求，基于不同原理的滤波方法被不断地提出来，虽然依据的准则，推导的过程各有差异，但最终的目的均是减小信号估计的误差，使滤波系统的输出信号尽可能地接近实际信号。

Wiener滤波是第二次世界大战中，为了解决火力控制系统精确跟踪问题，Wiener相继提出了平稳随机过程的最优线性滤波理论，首次将数理统计知识和线性系统理论联系起来，形成了对随机信号作平滑，滤波和预测的最新估计理论。在此后的发展中，Wiener滤波被应用于更多的领域，并沿用至今。

2.算法原理：

（1）有限长滤波器

对于一列输入信号x，一般的无限长线性滤波器输出为：

y(n)= Σh(m)x(n-m) m=0…∞

实际中，滤波器的长度，即阶数是有限长的，设为M，则有：

y(n)= Σh(m)x(n-m) m=0…M

即滤波器的当前时刻输出为前M个时刻的值经过加权之后得到的。

为便于书写与理解，上式可以写为矩阵形式：

y(n)=H(m)*X(n)

如果期望信号d已知，则可以计算输出与期望信号之间的误差：

e(n)=d(n)-y(n)= d(n)- H(m)*X(n) m=0…M

Wiener滤波的目标就是，如何确定一个长为M的系数序列H，使得上述误差值最小。

（2）最小均方误差滤波

根据目标函数的不同，又可以将滤波算法细分为不同的类别，一般来说有最小均方误差，最小二乘误差等等，这里只讨论最小均方误差。

令目标函数为：

Min E[e(n)^2]= E[(d(n)- H(m)*X(n))^2]

当滤波器的系数最优时，目标函数对系数的倒数应该为0，即：

dE[e(n)^2]/dH=0

2 E[ (d(n)- H(m)*X(n))]* X(n)=0

E[(d(n) X(n))- H(m)E[X(n)X(n)]=0

根据随机过程的知识，上式可以表达为：

Rxd-H*Rxx=0

其中Rxd与Rxx分别为输入信号与期望信号的相关矩阵与输入信号的自相关矩阵。

从而有：

H=Rxx-1*Rxd

至此，便得到了Wiener滤波的基本原理与公式推导。

3.算法应用与实现

理解了算法的原理之后，下边举一个小的例子来考察如何应用Wienar滤波处理实际问题。

问题背景：一个点目标在x，y平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。其中，x方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。

问题分析与思路：

将物体的运动轨迹分解为X方向和Y方向，并假设两个方向上运动相互独立。分别将运动轨迹离散为一系列点，作为滤波器的输入，分别在两个方向上进行滤波，最终再合成运动轨迹。

程序设计思路：

生成期望信号-添加噪声-计算相关矩阵-求解最佳滤波器系数-滤波运算-输出信号-合成轨迹

4.结果与分析

5.源代码

%***********************************************

%该程序使用Wiener滤波方法对圆周运动轨迹进行控制

%信号模型：d=s+no 观测信号=期望信号+噪声信号

%进行一次Wiener滤波，得到最佳滤波器系数

17.4 by Howie

clear

close all

N=500;

theta=linspace(0,2*pi,N); %极坐标参数

s_x=cos(theta); %x，y方向上的期望信号

s_y=sin(theta);

no_x=normrnd(0,sqrt(0.05),1,N); %高斯白噪声

no_y=normrnd(0,sqrt(0.06),1,N);

d_x=s_x+no_x; %观测信号

d_y=s_y+no_y;

M=500;%M为滤波器的阶数

%% 对x方向上数据进行滤波

rxx=xcorr(d_x);

Rxx=zeros(N);

% temp=toeplitz(rxx);

for i=1:N %观测信号的相关矩阵

for j=1:N

Rxx(i,j)=rxx(N+i-j);

end

rxd=xcorr(s_x,d_x); %观测信号与期望信号的相关矩阵

Rxd=rxd(N:N+M-1); %向量而非矩阵

hopt_x=Rxx\Rxd';

% de_x=conv(hopt_x,d_x);

de_x=zeros(1,N);

for n=1:N

for i=1:n-1

de_x(n)=de_x(n)+hopt_x(i)*d_x(n-i);

end

de_x(1:2)=d_x(1:2);

ems_x=sum(d_x.^2)-Rxd*hopt_x;

e_x=de_x-s_x;

% de_x(N-1:N)=d_x(N-1:N);

%% 对y方向上数据进行滤波处理思路同x方向

ryy=xcorr(d_y);

Ryy=zeros(N);

for i=1:N

for j=1:N

Ryy(i,j)=ryy(N+i-j);

end

% temp=toeplitz(ryy);

% Ryy=temp(1:M,N:N+M-1);

ryd=xcorr(s_y,d_y);

% temp=toeplitz(ryd);

% Ryd=temp(1:N,N:length(temp));

Ryd=ryd(N:N+M-1);

hopt_y=Ryy\Ryd';

% de_y=conv(hopt_y,d_y);

de_y=zeros(1,N);

for n=1:N

for i=1:n-1

de_y(n)=de_y(n)+hopt_y(i)*d_y(n-i);

end

de_y(1:2)=d_y(1:2);

ems_y=sum(d_y.^2)-Ryd*hopt_y;

e_y=de_y-s_y;

% de_y(N-1:N)=d_y(N-1:N);

%% plot

figure

plot(s_x,s_y,'r','linewidth',2)

hold on

plot(d_x,d_y,'b')

hold on

plot(de_x,de_y,'k-')

title('维纳滤波预测轨迹')

legend('期望轨迹','观测轨迹','滤波轨迹')

%% %% x方向上绘图

figure

suptitle('X方向上维纳滤波效果')

subplot(321)

plot(s_x)

title('期望信号')

subplot(322)

plot(no_x)

title('噪声信号')

subplot(323)

plot(d_x)

title('观测信号')

subplot(324)

plot(de_x)

title('滤波后信号')

subplot(325)

plot(ems_x,'o')

title('最小均方误差')

subplot(326)

plot(e_x)

title('绝对误差')

%% y方向上绘图

figure

suptitle('Y方向上维纳滤波效果')

subplot(321)

plot(s_y)

title('期望信号')

subplot(322)

plot(no_y)

title('噪声信号')

subplot(323)

plot(d_y)

title('观测信号')

subplot(324)

plot(de_y)

title('滤波后信号')

subplot(325)

plot(ems_y,'o')

title('最小均方误差')

subplot(326)

plot(e_y)

title('绝对误差')

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