输入格式：

5 // 三角形行数，下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 – 99。
要求输出最大和，不必给出具体路径。

思路

• D(r,j)：第r行第j个数字（r，j从1开始算）
• MaxSum(r,j)：从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和

问题：求MaxSum(1,1)

D(r,j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1,j+1)
对于N行的三角形：

if(r == N)MaxSum(r,j) = D(r,j)
elseMaxSum(r,j) = Max{ MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

递归

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;int D[MAX][MAX];
int n;int MaxSum(int i, int j) {if(i == n)return D[i][j];int x = MaxSum(i+1,j);int y = MaxSum(i+1,j+1);return max(x,y) + D[i][j];
}int main(){cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=i; j++)cin>>D[i][j];cout<< MaxSum(1,1) <<endl;return 0;
}

改进
每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。

记忆递归型动态规划

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];int MaxSum(int i, int j) {if(maxSum[i][j] != -1)return maxSum[i][j];if(i == n)maxSum[i][j] = D[i][j];else {int x = MaxSum(i+1,j);int y = MaxSum(i+1,j+1);maxSum[i][j] = max(x,y) + D[i][j];}return maxSum[i][j];
}int main() {cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=i; j++) {cin>>D[i][j];maxSum[i][j] = -1;}cout<< MaxSum(1,1) <<endl;return 0;
}

递推型动态规划

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin>>D[i][j];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        maxSum[n][i] = D[n][i];
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
    cout<<maxSum[1][1]<<endl;
}

空间优化动态规划
用D的第n行替代maxSum

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;int D[MAX][MAX];
int n;
int *maxSum;int main() {cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=i; j++)cin>>D[i][j];maxSum = D[n];  // maxSum指向第n行for(int i=n-1; i>=1; i--)for(int j=1; j<=i; j++)maxSum[j] = max(maxSum[j], maxSum[j+1]) + D[i][j];cout<<maxSum[1]<<endl;return 0;
}

北大的公开课真心不错，感觉比现在上的算法课好很多(●’◡’●)