【算法反刍】递归与递推

对于递归和递推的非常专业的定义和解释在这里就不再copy了，私以为算法的关键是运用和实践，就好比围棋，规则简单但是入门的门槛很高，就算熟练记忆规则也没法下好一盘棋。Likewise，对于算法学习，最关键是有一个算法的惯性在脑子里，这要比熟记定义重要得多，因为这需要深刻的掌握。对于算法的学习需要的是长久的训练和揣摩。无他，唯手熟尔！

一、递归：自身调用自身的一种算法形式。这也是我们平时所说的dfs（深度优先搜索）。

Q1、如何构建递归搜索树？

Q2、当前是递归搜索树的第几层？

Q3、从哪一层开始递归？

Q4、选还是不选？

Q5、如何标记选还是不选的状态？

Q6、边界是什么？即退出递归的条件是什么？

Q7、什么是回溯？

Q8、什么是恢复现场？为什么要恢复现场？

Q9、如何确定枚举的顺序？

做题前思考清楚这些问题，可以说就是入门的第一步！

例一】

从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤15

输入样例：
3
输出样例：
3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

此题本质：有n个数，而且是以1.2.3.4.5...n的顺序排放，那么某个位置的数字是放还是不放决定了整体的排列。

此题可以用深度优先搜索解决，因为放还是不放这一问题可以抽象成二叉树，深搜就是先序遍历二叉树。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int N=16;
int st[N];//0代表不选，1代表选，2代表空
int n;void dfs(int u)
{if(u>n){for(int i=1;i<=n;i++){if(st[i]==1)cout<<i<<" ";}cout<<endl;return ;}st[u]=0;dfs(u+1);st[u]=2;//恢复现场st[u]=1;dfs(u+1);st[u]=2;
}int main()
{scanf("%d",&n);dfs(1);return 0;}

例二】

把 1~nn 这 nn 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式

一个整数n。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

此题本质：

n个位置，分别填数。利用递归就是填数的过程。

递归搜索树不一定是二叉树。

要做到不重，可以定义used数组记录。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int N=16;
int n;
int st[N];//0表示未填，1~n表示该填的数
bool used[N];//判断某个数是否已经填了
void dfs(int u)
{if(u>n){for(int i=1;i<=n;i++)cout<<st[i]<<" ";puts("");return ;}for(int i=1;i<=n;i++)//遍历{if(!used[i]){st[u]=i;used[i]=true;dfs(u+1);st[u]=0;used[i]=false;}}}int main()
{cin>>n;dfs(1);return 0;
}

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数 n,mn,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围

2≤n,m≤10002≤n,m≤1000，
保证数据一定有解。

输入样例：

4 7

输出样例：

暴力搜索打表

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;bool dfs(int x,int i,int j){if(!x) return true;if(x >= i && dfs(x-i,i,j)) return true;if(x >= j && dfs(x-j,i,j)) return true;return false;
}
int main(){int p,q;cin>>p>>q;int res=0;for(int i=1;i<=1000;i++)//假设大于1000的相当于都有解了{if(!dfs(i,p,q)) res=i;}cout<<res;return 0;
}

2、递推：按照某种策略向后递进，要填充后面的内容往往需要用到前面的内容。

最简单的递推：斐波那契数列

以下数列0 1 1 2 3 5 8 13 21 …被称为斐波纳契数列。

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

输入一个整数N，请你输出这个序列的前N项。

输入格式

一个整数N。

输出格式

在一行中输出斐波那契数列的前N项，数字之间用空格隔开。

数据范围

0<N<460<N<46

输入样例：
5
输出样例：
0 1 1 2 3

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;int main()
{int n,fi[51];fi[1]=0;fi[2]=1;cin>>n;for(int i=3;i<=50;i++){fi[i]=fi[i-1]+fi[i-2];}for(int i=1;i<=n;i++){cout<<fi[i]<<" ";}}

未完待续

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