傅立叶：你让我如何理解你？

http://www.zhihu.com/question/19991026

从数学的角度，提供一个形象有趣的解释。有点啰嗦，如果你愿意，可以修改出一个更加浓缩的版本讲给文科生听。

1. 什么是基？
假设一个科研所有四个所长（一正三副），四个所长各司其职，把整个科研所的事物管理的井井有条。这四个所长，少一个，单位的工作无法顺利展开，多一个碍手碍脚事倍功半，他们四人一道就组成了科研所的一个"基"。
一个单位的基可能不是唯一的，四个人换换位置工作也能展开，调走一个人再换一个人来顶替，单位亦可以正常运转，但是4这个数是不能变化的（数学语言：基的维数固定不变）。
总结：一组基，就是足够能描述、表达某类事物的最少的一小撮元素们。

2. 基只有一种形式吗？
我们把科研所的日常事务换成感情，把四个所长换成语言字典重新来叙述。
假设你爱上了一个人，需要向她表达感情。这时就需要一套表达感情的工具——语言。如果使用汉语，你可以说"我爱你"，如果使用英文，你可以说"I love you"。汉语的所有词汇构成了一个集合，英语的所有词汇也构成了一个集合，它们都可以描述感情、感觉、事物和知识，它们是两套不同的描述系统，也分别有自己的基。
总结：描述事物的基可以有很多套。

3. 基有什么特点？
汉语的词汇量很大，有很多重复意义的词，比如我爱你就可以重新表述为："俺爱你"，"我爱侬"，"我想和你困觉"等等。我们把汉语词汇中所有同意的词只保留一个（数学语言：使线性无关），留下来的词汇量较少的词典就是汉语的一个基，里面的每一个词被称作基函数。它的特点是：所有感情、感觉、事物和知识都可以用从这个较小的词汇本中挑出的一些词汇（基函数）经过精心安排（加权相加）来描述，并且只有一种描述方式（数学语言：若基固定，则对应系数/坐标确定），因为我们已经去掉了冗余的、近似的词汇，因此不存在一个事物在一个基下有两种不同表示法存在。
总结：一套基中的元素很多，足够描述事物，只要从中挑出一些你需要的，按某种方式组合在一起即可，一套基中的元素也不能太多，以至于这种描述事物的方法是唯一的。

4. 不同基之间有什么联系？
给定两个不同的语言，给出两个不同语言的小字典（两个基），我们都可以分别用唯一的方式表达感情、感觉、事物和知识。这两种表示法之间可以相互转换（数学语言：坐标变换）。"I love you"和"我爱你"可以相互转化。
总结：给定一个基，我们就可以用这组基表达事物，也可以用它来翻译用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互转换。

5. 什么是傅里叶变换？
大家还记得三角函数sin和cos吗，就是那种波浪形状的函数，一个波浪的的宽度可以是不同的，既可以像跳大绳一样宽，也可以像电炉丝一样窄（数学语言：频率不同）。把这些三角函数放到一起组成一个字典，就恰好是连续函数的一组基：任何一个连续函数，都可以唯一表示成一群三角函数相叠加。然而每个三角函数的分量有轻有重，相加的时候有的要拉高点，有的要压低点，有的要朝左朝右摆一摆，有的干脆不用（数学语言：加权系数不同）。到底是哪些三角函数呢，各个三角函数的分量如何呢？找到它们的过程，被称为傅里叶变换。

举几个例子：
从下面的几个例子可以看出，把一系列震荡的三角函数按照傅里叶系数（权值）进行缩放和平移再加起来，大概40个三角函数加到一起，就和原来的函数长得差不多了，无论原来的那个函数长的有多么奇特。因此我们说：蚂蚁也能撼大树，三角函数多了加到一起，多奇怪的连续函数我长的都能和你是一个样！！

总结：给你一个函数，找到它的傅里叶变换，就是找到一堆系数，每一个系数对应一个不同频率的三角函数，这些三角函数分别按各自的系数进行放缩和平移(数学语言：改变振幅和相位)，然后叠加在一起，恰好就与原来那个函数相等。
因此，四个处长是一组基，能维持一个单位的运转，处理各种问题；
一套简化的汉语词典是一组基，什么样的情感它都能找到唯一的表达语句；
一堆三角函数是一组基，什么样的连续函数都可以用一大堆三角函数叠加获得。（不要小看振荡的东西哦，振荡的函数多了，啥都能组合出来。别嫌方块简单，Minecraft世界你永远也玩不腻！）

6. 傅里叶变换有什么用？
摆弄一系列三角函数，让这个多点那个少点，有一个酷炫的名字，叫“频域处理”，
你去了美国，不知道白宫怎么走，你问翻译：白宫怎么走？
翻译跑到街上问美国人：Where is the White House？这叫傅里叶变换。
美国路人说："go straight and turn right"。这叫频域处理。
翻译听完给你说：直走，右拐就到了。这叫逆傅里叶变换。
总结：傅里叶变换的作用，就是把一个函数或者信号在三角函数基下转化为一堆系数，摆弄这些系数、实现一定功能有时比直接摆弄原信号方便，最后再做个逆傅里叶变换，信号就得到了某种处理。

7. 频域处理是很玄的东西，如何理解？
如果你不懂英文，一个妙龄少女对你说：Hi. I love you. Are you free tonight?你会回复她：姑娘你能不能不要说鸟语？滚回美帝玩泥巴吧。
在某些领域，傅里叶变换后的系数非常有用。为了显示方便，举一个二维的例子。见下图：

原始图像中含有噪声，因为噪声往往是细小的雪花点，属于图像高频分量，因此我们把图像首先做傅里叶变换，然后把变换后的三角函数前的系数中属于高频的部分全部去掉（置0），然后再做逆傅里叶变换，我们发现图像中的细节（噪声点）消失了。这就是频率域去噪的基本原理。

8. 还有哪些基我们可能听过，但是不曾认识到？
多项式基：多项式多了，啥稀奇古怪的函数都能表示，不信你试试泰勒展开式有多好用就知道了。
小波基：傅里叶基（三角函数）的改进，可以进行局部控制。
B-样条基：多项式基的改进，可以进行局部控制。

一幅800*600的图像，我们既可以认为它是一幅抽象的图像，也可以认为它是一个由800*600个基函数（一个基函数是某一颗像素值为1，其他所有像素值为0的图像）进行加权相加获得的一个坐标表示。

JimSoup，不善言辞，记性不好

杨惺忪、空陈、大枫等人赞同

哈，这是一个有趣的问题，而且是我真的做过，去解释给文科朋友听的。

我当时是这么解释的：
如果说文学都是百花齐放各有特色的话，那么，理工科却是喜欢解释一些普遍，通用的定理。说到伟大的理论，就不得不提傅立叶变化。

傅立叶变化一个简单的比喻是——假设你在现场听合唱团演唱。这合唱团的神奇之处就是它可以完全一模一样地唱出世界上的任何声音！

而它为什么能做到呢，这是因为它里面的人都是同一个人。也就是说，这些人都是一模一样的，如同克隆出来的一般无差异。他们的声音，可以随意变高变低，有大有小，但本质是同一个人的声音。
是不是很不可思议？而实际是，这个合唱团，真的是存在的。

傅立叶大爷正是揭露出这个伟大的发现的人。

你可以假使你是上帝，你手里有无数个一模一样形状的山。这些山有大有小，有高有低。但形状却总是一样的。
那么，你就可以拿这些山，像橡皮泥一样随意堆积，堆成了我们现在千奇百怪的山群的样子。

光呢？水呢？风呢？都是这样完全长得一模一样，只是有大有小，有高有矮的小精灵们，一个一个成群结队地合体出来的。

而且傅立叶大爷还有天大的门事，他告诉我们如何从这一堆乱七八糟的精灵中，挑出同样大小或者身高的一类。因为，我们只要知道某类精灵在这个集合里的比例，就可以知道这个物质的真相！

NB的人呢，甚至可以随便一手捞一群小精灵，看几眼就可以还原出整个集合的样子。

编辑于 2013-10-17 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

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碎瓦，海员/自由主义者/荒废的网络写手（远洋蹭…

GaryLx、alune bb、王丛立等人赞同

看了这帮理科生答题，真是绝逼不能忍了。不要呆萌了好不好！人家是文科生啊说不定还是女生啊！什么正弦啊fourier啊时域啊！说这些活该你孤独一生啊！
—————————————放着我来的分界线—————————————
你玩过杀人游戏吗？
那你会想象你用什么方法杀人吗？（哎呀好血腥啊谁去想那个）
如果是我，我会想象用傅立叶变换杀人法。（那是什么东东啊）
我杀一遍自己给你看看。只要念一句咒语:
揭谛揭谛波罗揭谛南无拉格朗日连续傅立叶思密达FFT急急如律令！
“噗嗤！”
一阵白烟过后，我消失了，地上却多了长长的一溜东西。
一个声音响起:来来来，妞，我带你走过我。
首先你看到的是一双登山鞋，一条levis牛仔裤，一件polo翻领T恤，一双棉袜，一条假的CK内裤。一台划屏的三星手机，一个ZIPPO打火机，一盒红南京香烟，一个装有二百五十块人民币和一张储蓄卡的钱包，这个穷鬼貌似只带了开房的钱吔……好了这些都是浮云……
其次是一堆骨头，一堆精瘦的肉，一团毛线样儿的神经，一撮乌黑发亮的体毛……喂喂女孩子家家的不要把玩那几根弯曲曲的……小心脚下……（哎呀！我的鞋底怎么沾了些白白黏黏的东西？）……踩了就踩了吧，反正也是准备给你的……
这一团红艳艳的小鬼火，是他的灵魂，有点烫。你手伸进去往外拽，可以拽出五颜六色的小小鬼火来。这个绿的是同情心，黄的叫责任感，蓝的是孤独，紫色的叫艺术气质……那一大坨灰色的别碰，黏手……
这里有个书架，上面是他看过的书……
这里有个电视机，可以播放他的生活回忆，看过的电影片段，还有AV剪辑……
这是几张sd卡，分别是他的文学知识、航海知识、物理知识、经济常识……
（这太乱了，一点都不好玩）
你知道最好玩的是什么吗？
这些东西都是用C、H、O等基本元素调制出来，本质上其实都是一样的东西。
揭谛揭谛波罗揭谛南无拉格朗日连续逆傅立叶思密达IFFT急急如律令！
一时间天地无光飞沙走石，锣鼓喧天鞭炮齐鸣，各式杂物化为颗粒状汇集成人形，眼耳口鼻逐渐清晰，哥们又回来了，走到吧台前嘬了一口玛格丽特。
（你这样变来变去，还是原来的你吗？）
我看了一眼手上缺的一小块皮:完全一样是不可能的，大差不差吧。这个傅立叶变换很炫有没有？
（我看出来了，就是分解嘛，搞那么玄乎的，讨厌……）
钦此。
ps:如果人长的不帅还这么扯，是会被人当作深井冰的……