【数据结构】树状数组笔记
树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）
- 本质上是按照二分对数组进行分组，维护和查询都是O(lgn)的复杂度
树状数组与线段树：树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。
lowbit
- lowbit = x & (-x)
- lowbit(x)也可以理解为能整除x的最大的2的幂次
- c[i]存放的是在i号之前（包括i号）lowbit(i)个整数的和（即：c[i]的覆盖长度是lowbit(i) ）
- 树状数组的下标必须从1开始
单点更新，区间查询
int getsum(int x)函数：返回前x个整数之和
int getsum(int x) {int sum = 0;for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(x))sum += c[i];return sum;
}- 如果要求[x, y]之内的数的和，可以转换成getsum(y) - getsum(x - 1)来解决
void update(x, v)函数：将第x个数加上一个数v
void update(int x, int v) {for(int i = x; i <= n; i += lowbit(x))c[i] += v;
}经典应用：统计序列中在元素左边比该元素小的元素个数
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 10010;
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
int c[maxn];
void update(int x, int v) {for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i))c[i] += v;
}
int getsum(int x) {int sum = 0;for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))sum += c[i];return sum;
}
int main() {int n, x;scanf("%d", &n);for(int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &x);update(x, 1);printf("%d\n", getsum(x - 1));}return 0;
}如果是求序列第k大的问题：
可以用二分法查询第一个满足getsum(i) >= k的i
int findKthElement(int k) {int l = 1, r = maxn; mid;while(l < r) {mid = (l + r) / 2;if(getsum(mid) >= K)r = mid;elsel = mid + 1;}return l;
}如果给定一个二维整数矩阵A，求A[1][1]~A[x][y]这个子矩阵中所有元素之和，以及给单点A[x][y]加上整数v：
只需把getsum和update函数中的for循环改为两重
int c[maxn][maxn];
void update(int x, int y, int v) {for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i)) {for(int j = y; j < maxn; j += lowbit(j)) {c[i][j] += v;}}
}int getsum(int x, int y) {int sum = 0;for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {for(int j = y; j >= 1; j -= lowbit(j))sum += c[i][j];}return sum;
}区间更新，单点查询
- 将getsum改为沿着i增大lowbit(i)的方向
- 将update改为沿着i减小的lowbit(i)的方向
- c[i]不再表示这段区间的元素之和，而是表示这段区间每个数被加了多少
- int getsum(int x)返回第x个整数的值（就是从小块到大块累加一共被增加了多少）
int getsum(int x) {int sum = 0;for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i))sum += c[i];return sum;
}- void update(int x, int v)是将前x个整数都加上v
void update(int x, int v) {for(int i = x; i >= 0; i -= lowbit(i))c[i] += v;
}- 所以，~~i从x往后是从小块更新到大块c[i]，i从x往前是累加前面的覆盖块的值~
1057. Stack (30)-PAT甲级真题（树状数组）
- 求栈内所有元素的中位数：用排序查询的方法会超时~~~用树状数组，即求第k = (s.size() + 1) / 2大的数。查询小于等于x的数的个数是否等于k的时候用二分法更快~
#include <cstdio>
#include <stack>
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
const int maxn = 100010;
using namespace std;
int c[maxn];
stack<int> s;
void update(int x, int v) {for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i))c[i] += v;
}
int getsum(int x) {int sum = 0;for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))sum += c[i];return sum;
}
void PeekMedian() {int left = 1, right = maxn, mid, k = (s.size() + 1) / 2;while(left < right) {mid = (left + right) / 2;if(getsum(mid) >= k)right = mid;elseleft = mid + 1;}printf("%d\n", left);
}
int main() {int n, temp;scanf("%d", &n);char str[15];for(int i = 0; i < n; i++) {scanf("%s", str);if(str[1] == 'u') {scanf("%d", &temp);s.push(temp);update(temp, 1);} else if(str[1] == 'o') {if(!s.empty()) {update(s.top(), -1);printf("%d\n", s.top());s.pop();} else {printf("Invalid\n");}} else {if(!s.empty())PeekMedian();elseprintf("Invalid\n");}}return 0;
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数据结构是每一个程序员都必须要学的,非常重要! 大佬的博客写的真好,虽然我看不懂..... 链接http://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/BIT.html
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