矩阵的谱（半径）及其性质

矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵、数值分析以及数值代数等理论的建树中，都占有极其重要的地位；

矩阵 A∈Cn×nA\in \mathbb C^{n\times n} 的谱（半径） ρ(A)\rho(A) 定义为：

ρ(A)=max1≤i≤n|λi|

\rho(A)=\max_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|
也即矩阵的谱为矩阵的特征值的模的最大值；

关于矩阵的谱（半径）的一个重要性质即是：任意复数域上的矩阵的谱半径不大于其任意一种诱导范数（请问，该性质可以用来干嘛，用来对谱半径进行近似估计）。

也即，设 A∈Cn×nA\in \mathbb C^{n\times n}，且其特征值是λi,i=1,2…,n\lambda_i,i=1,2\ldots,n，对 Cn×n\mathbb C^{n\times n} 上任意一种矩阵非范数 ∥A∥\|A\|，都有 ρ(A)=max1≤i≤n|λi|≤∥A∥\rho(A)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|\leq \|A\|，即 AA 的谱半径是 AA 的任意一种范数的下界；

先作如下证明：
设 λ\lambda 是 AA 的任意一个特征值，x≠0⃗ x\neq \vec 0 是对应的特征向量。构造 nn 阶矩阵 M=(x,0⃗ ,…,0⃗ )≠0⃗ M=(x,\vec 0,\ldots,\vec 0)\neq \vec 0，由于 Ax=λxAx=\lambda x，则 AM=λMAM=\lambda M，根据矩阵范数三角不等式有：

|λ|∥M∥=∥AM∥≤∥A∥∥M∥

|\lambda|\|M\|=\|AM\|\leq\|A\|\|M\|
而 ∥M∥>0\|M\|>0（矩阵范数为标量），则有 |λ|<∥A∥|\lambda|，自然 ρ(A)≤∥A∥\rho(A)\leq \|A\|。

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