(文末源码)差分进化(Differential Evolution，DE)
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文章目录
- 1、思想
- 2、方案DE1
- 变异
- 交叉
- 选择
- 算法伪代码
- 3、方案DE2
- 4、 源代码
1、思想
DE是由Rainer Storn 和 Kenneth Price于1995年提出的一种比较经典的进化算法，是一种新型并行直接搜索算法，每一代G中都利用NP个参数向量（个体）作为种群，在优化过程中NP是保持不变的。如果没有掌握一些系统的先验知识，通常初始种群是随机选择的，一般来说，除非另有说明，否则将对所有随机决策假定一个均匀的概率分布，在得到初步解后，通常通过在名义解x‾nom ,0\underline{x}_{\text {nom }, 0}xnom ,0上加上正太分布的随机偏差来生成初始种群。DE背后的关键思想是一种生成试验参数向量的新方案，其将两个种群个体的差向量加权后再与第三个成员相加，然后就得到了新的参数向量。如果得到的向量的目标函数值低于（最小化问题）种群中的个体，则用新生成的向量替换与之比较的向量。此外，还对每一代G中的最优参数向量X‾best ,G\underline{\mathrm{X}}_{\text {best }, \mathrm{G}}Xbest ,G进行评估，以追踪最小化进程。
从种群中提取距离和方向信息，产生随机偏差结果，该自适应方案具有良好的收敛性能。下面介绍两种最具潜力的DE变体。
2、方案DE1
变异
第一种DE变体的工作原理如下：对于每一个x‾i,G,i=0,1,2,…,NP−1\underline{x}_{i, G}, i=0,1,2, \ldots, N P-1xi,G,i=0,1,2,…,NP−1，根据下式生成试验向量：
v‾=x‾r1,G+F⋅(x‾r2,G−x‾r3,G)(1)\underline{\mathrm{v}}=\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{1}, \mathrm{G}}+\mathrm{F} \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{2}, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{3}, \mathrm{G}}\right)\tag {1} v=xr1,G+F⋅(xr2,G−xr3,G)(1)
其中r1,r2,r3∈[0,NP−1]\mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3} \in[0, \mathrm{NP}-1]r1,r2,r3∈[0,NP−1]，均为整数且互不相同，F>0F>0F>0。这一步相当于变异操作。
r1,r2,r3\mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3}r1,r2,r3为从[0,NP−1][0,NP-1][0,NP−1]中随机选择的整数，之所以是NP−1NP-1NP−1，是因为这里所以是从0开始的，所以最后一个个体的索引是NP−1NP-1NP−1,FFF为实值常数因子，控制差分变化(x‾r2,G−x‾r3,G)\left(\underline{\mathbf{x}}_{\mathbf{r}_{2}, \mathbf{G}}-\underline{\mathbf{x}}_{\mathbf{r}_{3}, \mathbf{G}}\right)(xr2,G−xr3,G)的放大率。图1以一个二维示例说明了不同向量再DE1中的作用。
图1 按照DE1生成v的过程
交叉
为了增加参数向量的多样性，构造如下向量：
u‾=(u1,u2,…,uD)T(2)\underline{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \ldots, \mathrm{u}_{\mathrm{D}}\right)^{\mathrm{T}}\tag{2} u=(u1,u2,…,uD)T(2)
uj={vjfor j=⟨n⟩D,⟨n+1⟩D,…,⟨n+L−1⟩D(x‾i,G)jotherwise (3)u_{j}=\left\{\begin{array}{ll} v_{j} & \text { for } \quad j=\langle n\rangle_{D},\langle n+1\rangle_{D}, \ldots,\langle n+L-1\rangle_{D} \\ \left(\underline{x}_{i, G}\right)_{j} & \text { otherwise } \end{array}\right.\tag{3} uj={vj(xi,G)j for j=⟨n⟩D,⟨n+1⟩D,…,⟨n+L−1⟩D otherwise (3)
其中尖括号⟨⟩D\langle\rangle_{D}⟨⟩D表示模为DDD的模函数。
式(3)说明u‾\underline{\mathrm{u}}u中某一向量元素序列等于v‾\underline{\mathrm{v}}v中的元素，而u‾\underline{\mathrm{u}}u中的其他元素使用x‾i,G\underline{x}_{i, G}xi,G中的原始值。为这种变异选择一组参数的过程类似于进化理论中交叉。图2解释了这一点，其中D=7，n=2,L=3。D为问题维度，起始索引nnn式从[0,D−1][0,D-1][0,D−1]内随机选择的整数，LLL以交叉概率CrCrCr从[0,D−1][0,D-1][0,D−1]内随机选择,LLL按以下方式确定，CrCrCr作用同FFF，用于控制DE。对于每一个试验向量，都要随机生成新的nnn和LLL。
L=0;DO{L=L+1;}WHILE ((rand(0,1)≤Cr)AND(L≤D))\begin{aligned} L &=0 ; \mathrm{DO} \\ &\{\\ L &=L+1 ; \\ &\} \text { WHILE }((r a n d(0,1) \leq C r) \mathrm{AND}(L \leq D)) \end{aligned} LL=0;DO{=L+1;} WHILE ((rand(0,1)≤Cr)AND(L≤D))
图2 交叉过程
所以从每个元素的角度就看，则可以得到以下公式：
uj,i,G={vj,i,Gif (randi,j[0,1]≤Cr or j=jrand)xj,i,Gotherwise (4)u_{j, i, G}=\left\{\begin{array}{ll} v_{j, i, G} & \text { if }\left(\text {rand}_{i, j}[0,1] \leq \text {Cr or } j=j_{\text {rand}}\right) \\ x_{j, i, G} & \text { otherwise } \end{array}\right.\tag{4} uj,i,G={vj,i,Gxj,i,G if (randi,j[0,1]≤Cr or j=jrand) otherwise (4)
其中randi,j[0,1]\text {rand}_{i, j}[0,1]randi,j[0,1]为均匀分布随机数，该值需要在第iii个参数向量的每个维度上都重新调用，jrand∈[1,2,...,D]j_{\text {rand}}\in [1,2,...,D]jrand∈[1,2,...,D]为随机选择的索引，以保证uuu中至少有一个元素取自vvv，对于每一代中的米格向量，只需要实例化此值一次。
选择
为了保证种群大小不变，这一步叫做“选择”，以确定试验向量或目标向量是否存活到下一代，即
x‾i,G+1=u‾if f(u‾)≤f(x‾i,G)=x‾i,Gif f(u‾)>f(x‾i,G)(5)\begin{aligned} \underline{\mathrm{x}}_{i, G+1}&=\underline{\mathrm{u}} & \text { if } f\left(\underline{\mathrm{u}}\right) \leq f\left(\underline{\mathrm{x}}_{i, G}\right) \\ & =\underline{\mathrm{x}}_{i, G} & \text { if } f\left(\underline{\mathrm{u}}\right)>f\left(\underline{\mathrm{x}}_{i, G}\right) \end{aligned}\tag{5} xi,G+1=u=xi,G if f(u)≤f(xi,G) if f(u)>f(xi,G)(5)
其中f()f()f()为待最小化的目标函数，因此新的试验向量产生了相等或更小的目标函数，则替换掉对应的目标向量，否则就保留目标向量至下一代。
算法伪代码
图3 算法伪代码
3、方案DE2
DE2和DE1思想基本一致，只不过在变异时稍有不同：
v‾=x‾i,G+λ⋅(x‾best ,G−x‾i,G)+F⋅(x‾r2,G−x‾r3,G)(6)\underline{\mathrm{v}}=\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}, \mathrm{G}}+\lambda \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\text {best }, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}, \mathrm{G}}\right)+\mathrm{F} \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{2}, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{3}, \mathrm{G}}\right)\tag{6} v=xi,G+λ⋅(xbest ,G−xi,G)+F⋅(xr2,G−xr3,G)(6)
(6)中引入了一个额外的控制参数λ\lambdaλ，其思想是提供一种通过结合当前最优向量x‾best \underline{\mathrm{x}}_{\text {best }}xbest 的方式，来增强该方案的贪婪性。图4说明了DE2的向量生成过程。
图4 DE2生成v的过程
4、 源代码
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