用拉格朗日插值法，牛顿插值和分段线性插值计算近似值

一、题目：

任选点集，用拉格朗日插值法，牛顿插值和分段线性插值计算近似值。

二、思路：

（1）点集

（2）拉格朗日插值法

根据拉格朗日插值公式，利用嵌套循环设计算法。此方法比较简单方便，但当插值点较多时，拉格朗日多项式的次数也会增多，这时候会与实际值产生较大偏差，并且拉格朗日插值法在计算中遇到增减插值点时操作较为繁琐。算法复杂度O(n^2)

（3）牛顿插值法

牛顿插值法实际上和拉格朗日插值法是同一种方法的两种变形，先利用循环算出插值公式中每一项对应的商差，然后再用循环添上系数。它适用于变化的数据，可以复用原先的结果。算法复杂度为O(n^4)

（4）分段线性插值法

先将已知数据进行从小到大排序，根据排序分为不同区间，然后判断所求点在哪个区间内，然后利用线性插值法，将区间的两端所对应的已知点代入计算。误差大小取决于取样点的密度，取样点越密集，精度越高。算法复杂度为：O(n^2)

三、结果展示

四、完整代码

double Lagrange(int N, vector<double>& x, vector<double>& y, double X)//拉格朗日插值法
{double result = 0;for (int k = 0;k < N;k++){double t = y[k];for (int i = 0;i < N;i++){if (i != k) {t *=(X - x[i]);//yk*(x-xi)t /= (x[k] - x[i]);//yk*(x-xi)/(xk-xi)}}result+= t;}return result;
}double Quotient(int N, vector<double>& x, vector<double>& y)//差商
{double f = 0;double t=0;for (int i = 0;i <= N;i++)//i<=N为了当N=0时得到f=y[0]{t = y[i];for (int j = 0;j <= N;j++){if (i != j) t/= (x[i] - x[j]);}f += t;}return f;
}
double Newton(int N, vector<double>& x, vector<double>& y,double X)//牛顿插值法
{double result = 0;for (int i = 0;i < N;i++){double t = 1;double f = Quotient(i, x, y);for (int j = 0;j < i;j++){t = t * (X - x[j]);}result += f * t;//N(x)=f(x0)+(x-x0)f(x,x0)+(x-X0)(x-x1)f(x,x0,x1)+......} return result;
}double lineLag(int N, vector<double>& x, vector<double>& y, double X)//分段线性插值法
{double m1, m2, t1, t2;vector<double>temp(N);int n = 0;m1 = X;for (int i = 0;i < N - 1;i++)//冒泡排序法{for (int j = 0;j < N - 1 - i;j++){if (x[j] > x[j + 1]) {t1 = x[j];//x进行升序排序x[j] = x[j + 1];x[j + 1] = t1;t2 = y[j];//对应的y值跟着变位置y[j] = y[j + 1];y[j + 1] = t2;}}}//找最近点for (int i = 0;i < N;i++){if (x[i] < X)//先找到区间左值{m1 = x[i];n = i + 1;}}if (X == m1 + 1) m2 = m1 + 2;//右值else m2 = m1 + 1;double result = y[n - 1] * ((X - m2) / (m1 - m2)) + y[n] * ((X - m1) / (m2 - m1));return result;
}int main(void)
{ifstream infile;//输入流infile.open("数据.txt", iostream::in);if (!infile.is_open())//文件不存在cout << "Open file failure!" << endl;int N;double x;double result;infile >> N ;//先读取第一行vector<double>X(N);vector<double>Y(N);for (int i = 0;i < N;i++){infile >>X[i]>>Y[i];}cout << "输入需要计算的x值：" << endl;cin >> x;cout << "拉格朗日插值法计算结果为：" << Lagrange(N, X, Y, x) << endl;cout<<"牛顿插值法计算结果为："<< Newton(N, X, Y, x) << endl;cout << "分段线性插值法计算结果为:" << lineLag(N, X, Y, x) << endl;infile.close();
}

留个记忆，不能忘了怎么算的。

程序借鉴了一篇大神的博文，可惜没有保存下来，等找到了吧链接补上嘿嘿。

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