涉及欧拉常数的一道数学题

计算lim⁡n→∞1n(n12+23+...+nn+1)n\text{计算}\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left( \frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}} \right) ^n计算n→∞limn1(21+32+...+n+1nn)n

解：12+23+...+nn+1=n+1−(1+12+13+...+1n+1)\text{解：}\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}=n+1-\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1} \right) 解：21+32+...+n+1n=n+1−(1+21+31+...+n+11)
根据欧拉常数的定义：γ=lim⁡n→∞(∑k=1n1k−ln⁡n)\text{根据欧拉常数的定义：}\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}-\ln n} \right) 根据欧拉常数的定义：γ=n→∞lim(k=1∑nk1−lnn)
不妨设γn+1=lim⁡n→∞(∑k=1n+11k−ln⁡(n+1))即n+1−(1+12+13+...+1n+1)=n+1−ln⁡(n+1)−γn+1∴n12+23+...+nn+1=nn+1−ln⁡(n+1)−γn+1=11+1−ln⁡(n+1)−γn+1n记1−ln⁡(n+1)−γn+1n=an,易得lim⁡n→∞an=0\text{不妨设}\gamma _{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{k}-\ln \left( n+1 \right)} \right) \\ \text{即}n+1-\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1} \right) =n+1-\ln \left( n+1 \right) -\gamma _{n+1} \\ \therefore \frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}}=\frac{n}{n+1-\ln \left( n+1 \right) -\gamma _{n+1}}=\frac{1}{1+\frac{1-\ln \left( n+1 \right) -\gamma _{n+1}}{n}} \\ \text{记}\frac{1-\ln \left( n+1 \right) -\gamma _{n+1}}{n}=a_n,\text{易得}\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0 不妨设γn+1=n→∞lim(k=1∑n+1k1−ln(n+1))即n+1−(1+21+31+...+n+11)=n+1−ln(n+1)−γn+1∴21+32+...+n+1nn=n+1−ln(n+1)−γn+1n=1+n1−ln(n+1)−γn+11记n1−ln(n+1)−γn+1=an,易得n→∞liman=0
原题目转化为：lim⁡n→∞1n(11+an)n=lim⁡n→∞eln⁡1n+nln⁡(11+an)=e−ln⁡n−nln⁡(1+an)\text{原题目转化为：}\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left( \frac{1}{1+a_n} \right) ^n \\ \,\, =\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\ln \frac{1}{n}+n\ln \left( \frac{1}{1+an} \right)} \\ \,\, =e^{-\ln n-n\ln \left( 1+a_n \right)} 原题目转化为：n→∞limn1(1+an1)n=n→∞limelnn1+nln(1+an1)=e−lnn−nln(1+an)
n(1+an)=an+O(ln⁡2nn2)≈an故−ln⁡n−nln⁡(1+an)=−ln⁡n−nan=−ln⁡n−n1−ln⁡(n+1)−γn+1n=γn+1−1+ln⁡(1+1n)=γn+1−1∴lim⁡n→∞1n(n12+23+...+nn+1)n=eγn+1−1其中γn+1=lim⁡n→∞(∑k=1n+11k−ln⁡(n+1))\mathrm{n}\left( 1+a_n \right) =a_n+O\left( \frac{\ln ^2n}{n^2} \right) \approx a_n \\ \text{故}-\ln n-n\ln \left( 1+a_n \right) =-\ln n-na_n \\ \,\, =-\ln n-n\frac{1-\ln \left( n+1 \right) -\gamma _{n+1}}{n} \\ \,\, =\gamma _{n+1}-1+\ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) \\ \,\, =\gamma _{n+1}-1 \\ \therefore \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left( \frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n}{n+1}} \right) ^n=e^{\gamma _{n+1}-1} \\ \text{其中}\gamma _{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{k}-\ln \left( n+1 \right)} \right) n(1+an)=an+O(n2ln2n)≈an故−lnn−nln(1+an)=−lnn−nan=−lnn−nn1−ln(n+1)−γn+1=γn+1−1+ln(1+n1)=γn+1−1∴n→∞limn1(21+32+...+n+1nn)n=eγn+1−1其中γn+1=n→∞lim(k=1∑n+1k1−ln(n+1))

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