不定期备考小tips[常微][2] #20210528

保守系统（续）
- 单摆
- - 画相图的典型示例
  - 周期大小
  - 圆柱上的相图
  - 带阻尼的情况
- 考察保守性的例题
- - 进一步理解李雅普诺夫函数
可逆系统
- 例：随手例题
- 例：力场
- 可逆与保守

本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）

保守系统（续）

单摆

画相图的典型示例

d2dt2θ=−glsinθ\frac{d^2}{dt^2} \theta = -\frac gl sin\thetadt2d2θ=−lgsinθ，取特征时间τ\tauτ满足ω=gl,τ=ωt\omega = \sqrt{\frac gl},\tau = \omega tω=lg,τ=ωt，则d2dτ2θ=θ¨=−sinθ\frac{d^2}{d\tau^2} \theta=\ddot \theta = -sin\thetadτ2d2θ=θ¨=−sinθ
θ˙=v,v˙=−sinθ\dot \theta = v,\dot v = -sin\thetaθ˙=v,v˙=−sinθ，试画相图。

画nullcline，即所有θ˙=0\dot \theta=0θ˙=0的点和v˙=0\dot v = 0v˙=0的点。
标注每个区域处θ˙,v˙\dot \theta,\dot vθ˙,v˙的符号。
标注所有不动点，并对不动点作稳定性分析（可能手段：近似化，看图，看物理意义等）。
举例：单摆例子中v=0,θ=πv=0,\theta=\piv=0,θ=π处显然不能稳定。（实际上是鞍点）
对于线性近似后能求出特征方向的，可以求出特征方向，并辅助画图。
考察保守性、守恒量、闭轨。
比如本例12θ˙2−cosθ\frac 12 \dot \theta^2-cos\theta21θ˙2−cosθ守恒。(0,0)(0,0)(0,0)是12v2−cosθ\frac 12 v^2-cos\theta21v2−cosθ的极小值点，根据保守场性质，闭轨存在。
或者直接通过看等值线证明闭轨存在。
或者通过对称性证明闭轨存在。
考察异宿轨（通过两个鞍点）、同宿轨（两个鞍点“合并”为一个时的异宿轨）等特殊轨道。对于本题，通过等值线或对称性都可说明通过(−π,0)(-\pi ,0)(−π,0)和(π,0)(\pi,0)(π,0)的异宿轨存在。
对称性在画相图中的作用
确定相图形状，并且可以只画相图的一部分以画出其它部分。比如本题有中心对称、平移对称、θ\thetaθ和τ\tauτ同时反号的对称。这说明只需要考察第一象限0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π的情况即可画出整张图

周期大小

由12θ˙2−cosθ=C=−cosA\frac 12 \dot\theta^2-cos\theta=C=-cosA21θ˙2−cosθ=C=−cosA得θ˙=2cosθ−2cosA\dot \theta =\sqrt{2cos\theta-2cosA}θ˙=2cosθ−2cosA
利用对称性，容易计算得T(A)=C∫0Adθcosθ−cosAT(A)=C\int_0^A \frac{d\theta}{\sqrt{cos\theta-cosA}}T(A)=C∫0Acosθ−cosAdθ，AAA是角度的振幅，CCC是一常数。
该积分的性质

当AAA很小，θ\thetaθ很小，线性近似下sinθ≈θsin\theta\approx \thetasinθ≈θ，原积分为C′∫0AdθA2−θ2=C′∫01dt1−t2=C′π/2C'\int_0^A \frac{d\theta}{\sqrt{A^2-\theta^2}}=C'\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=C'\pi/2C′∫0AA2−θ2dθ=C′∫011−t2dt=C′π/2，则单摆有等时性，周期与振幅无关。
当AAA趋向于π\piπ时，相图中轨线趋向于异宿轨。回忆存在唯一性定理，推知“运动到平衡点”的所需时间发散（类比一维）。实际上容易验证A→πA\to \piA→π时原积分发散。

圆柱上的相图

由于θ\thetaθ变化2π2\pi2π在物理上表示一个点，可以将两侧粘合形成圆柱。
当能量E=12v2−cosθ>1E=\frac 12 v^2-cos\theta>1E=21v2−cosθ>1，则物理意义是不断转圈（”进动“）不摆动，在平面相图上是不断向左或右一个方向运动，在圆柱上是不断绕柱作周期运动。
绕柱作周期运动的闭轨和前面平面上的闭轨具有不同的拓扑意义。
异宿轨在粘合后鞍点恰好合并了，成为同宿轨。

想象圆柱上的等能量线在设法弯曲圆柱后变为等高线，则直观看到：

E=0E=0E=0处有分岔现象。
E>0E>0E>0时看起来左右两情况旋转方向相同，但物理意义上旋转方向相反（把圆柱重新拉直可以看出）。

带阻尼的情况

θ¨+ϵθ˙+sinθ=0\ddot \theta + \epsilon \dot \theta +sin\theta=0θ¨+ϵθ˙+sinθ=0

在平面相图上出现螺旋。在柱面相图上的情况可以通过弯曲的柱直观想象。

考察保守性的例题

进一步理解李雅普诺夫函数

x˙=−y+ax3,y˙=x+ay3\dot x = -y+ax^3, \dot y=x+ay^3x˙=−y+ax3,y˙=x+ay3
回顾：通过构造李雅普诺夫函数x2+y2x^2+y^2x2+y2，考虑其导数，证明a≠0a\neq 0a=0时系统不保守。
并不是任何函数都能具有如此功能。比如重力场中高度也单调，同种电荷排斥的有心力场中角度也单调。
实际上，这里的x2+y2x^2+y^2x2+y2的导数真正说明的要点是：原点是排斥的或吸引的，与保守场性质矛盾。
具体地：例如a<0,ddt(x2+y2)=a(x4+y4)a<0, \frac d{dt} (x^2+y^2)=a(x^4+y^4)a<0,dtd(x2+y2)=a(x4+y4)，则x2+y2x^2+y^2x2+y2单减下有界，必有极限，且容易说明极限必须为0，则原点是吸引的。而若a>0a>0a>0就时间反演，证明原点是排斥的。

可逆系统

定义：x⃗˙=F⃗(x⃗)\dot {\vec x}=\vec F(\vec x)x˙=F(x)，在变换t′=−t,x⃗′=R(x⃗)t'=-t,\vec x'=R(\vec x)t′=−t,x′=R(x)下不变，其中RRR是平面到平面的光滑双射且R(R(x⃗))=x⃗,∀x⃗R(R(\vec x))=\vec x,\forall \vec xR(R(x))=x,∀x（类比”对合矩阵“）

例：随手例题

x˙=−y+x3,y˙=x−y3\dot x = -y+x^3, \dot y=x-y^3x˙=−y+x3,y˙=x−y3
容易求出零线y=x3y=x^3y=x3和x=y3x=y^3x=y3，不动点(0,0),(1,1),(−1,−1)(0,0),(1,1),(-1,-1)(0,0),(1,1),(−1,−1)
线性近似后：原点是中心。通过零线上的运动方向容易看出另外两个平衡点是鞍点。
线性近似前原点附近是否有闭轨？

可以直接交叉相乘相减x˙x−y3x˙+yy˙−x3y˙\dot x x-y^3\dot x+y\dot y-x^3\dot yx˙x−y3x˙+yy˙−x3y˙找守恒量，再利用保守场性质说明有中心、有闭轨。
可以换极坐标发现rr˙=r4cos2θ,(r−2)′=Ccos2θ,θ˙=1+小量r\dot r=r^4 cos2\theta,(r^{-2})'=Ccos2\theta,\dot\theta=1+小量rr˙=r4cos2θ,(r−2)′=Ccos2θ,θ˙=1+小量，根据rrr具有关于时间的周期性，容易说明附近不存在螺旋线。（实际上，线性近似后的中心在近似前的所有可能情况是能被完全分类的。若不存在螺旋，可以说明线性近似前是中心。具体阐述留待下一期）
或者可以利用体系关于x′=y,y′=x,t′=−tx'=y,y'=x,t'=-tx′=y,y′=x,t′=−t的对称性，直接考察y=xy=xy=x直线上点为起点的轨线，证明原点附近有一族闭轨。
和3.完全类似地：也可以利用关于y=−xy=-xy=−x直线的对称性。x′=−y,y′=−x,t′=−tx'=-y,y'=-x,t'=-tx′=−y,y′=−x,t′=−t后方程不变。现在考察x+y=0x+y=0x+y=0直线上点为起点的轨线，证明原点附近有一族闭轨。
小复习：如何求关于直线y+x=0y+x=0y+x=0的反射变换：y+xy+xy+x变换后是−(y+x)-(y+x)−(y+x)，x−yx-yx−y变换后不变，两式相加或相减发现xxx变为−y-y−y，yyy变为−x-x−x。
注：方法3.在书写时的严格说法：若x=u(t),y=v(t)x=u(t),y=v(t)x=u(t),y=v(t)是解曲线，则x=v(−t),y=u(−t)x=v(-t),y=u(-t)x=v(−t),y=u(−t)也是解曲线，考察这两条解曲线就找到了闭轨。

例：力场

x¨=f(x)\ddot x=f(x)x¨=f(x)为奇函数，首先系统保守（可以写出x˙=y,y˙=f(x)\dot x=y,\dot y=f(x)x˙=y,y˙=f(x)交叉相乘相减证明）。
t′=−tt'=-tt′=−t时，根据物理含义，y′=−yy'=-yy′=−y。t′=−t,y′=−yt'=-t,y'=-yt′=−t,y′=−y下方程不变，也就是物理规律不变。

可逆与保守

联系：都有中心与”一族闭轨“的结论。
实际上可逆系统中，孤立的、线性近似后是中心的不动点周围都有一族闭轨。（重要补充说明：这里说到”周围“。其实这个命题是一个“局部性质”，要求不动点的邻域D映到自身，特别地，该孤立不动点在映射下不变。并不是所有满足原始定义的可逆系统都有此结论）
具体证明略。根本思路是x⃗\vec xx运动到R(x⃗)R(\vec x)R(x)的解曲线”对称后“仍是解曲线。
典型的可逆但不保守的例子：x˙=−2cosx−cosy,y˙=−2cosy−cosx\dot x = -2cosx-cosy, \dot y=-2cosy-cosxx˙=−2cosx−cosy,y˙=−2cosy−cosx。构造该反例的思想：先构造出一类”足够大“的可逆系统，再从该类中试图找不保守的（比如找出其中有结点的系统）。实际上，容易知道x˙=f(x)+g(y),y˙=h(x)+i(y)\dot x=f(x)+g(y),\dot y = h(x)+i(y)x˙=f(x)+g(y),y˙=h(x)+i(y)，其中各f,g,h,if,g,h,if,g,h,i都是偶函数，则系统在t′=−t,x′=−x,y′=−yt'=-t,x'=-x,y'=-yt′=−t,x′=−x,y′=−y下不变。那么在各类偶函数中找出适当的，使得结点存在，就很简单。

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