概率论与数理统计——几何分布的无记忆性证明

什么是几何分布
几何分布的无记忆性
为什么称其为无记忆性
无记忆性的证明

什么是几何分布

设一个试验成功的概率为p，独立重复该实验直到第一次成功，到成功为止，进行的试验次数，服从几何分布。

几何分布这个名字，得名于几何级数。这个几何级数，就是我们所熟悉的等比数列的前n项和，又称为等比级数。等比数列又被称为几何数列，这是因为，除了首位两项，每一项都是其前后两项的几何平均数。

几何分布的无记忆性

若X服从参数为p的几何分布，n，m为两个正整数，则有

P(X>n+m∣X>n)=P(X>m)P(X>n+m|X>n)=P(X>m)P(X>n+m∣X>n)=P(X>m)

上式即为几何分布的无记忆性的公式。

为什么称其为无记忆性

从几何分布的定义出发，已经进行了n次试验没有成功，再进行m次试验，没有成功的概率，与之前已知的信息(n次试验失败)没有关系。也就是说，并不会因为之前n次试验的失败，而会使第n+1次之后的试验成功率上升。

无记忆性的证明

通过数学的推导来进行证明。

Step 1

设事件X>n+m为事件A，事件X>n为事件B。
那么由条件概率的公式

P(X>n+m∣X>n)=P(A∣B)=P(AB)/P(B)=P(X>n+m)P(X>n)P(X>n+m|X>n) =P(A|B) =P(AB)/P(B) =\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}P(X>n+m∣X>n)=P(A∣B)=P(AB)/P(B)=P(X>n)P(X>n+m)

(事件AB即A与B同时发生，由于A⊆B，则AB=A，所以P(AB)=P(A)=P(X>n+m))

Step 2

我们以P(X>m)为例。
因为几何分布是一种离散型分布，因此，我们可以把P(X>m)写成下面这种形式

P(X>m)=∑k=m+1∞P(X=k)P(X>m)=\sum\limits_{k=m+1}^∞P(X=k)P(X>m)=k=m+1∑∞P(X=k)

由于

P(X=k)=qk−1pP(X=k)=q^{k-1}pP(X=k)=qk−1p

所以

P(X>m)=∑k=m+1∞P(X=k)=p∑k=m+1∞qk−1=p(qm+qm+1+...)P(X>m) =\sum\limits_{k=m+1}^∞P(X=k) =p\sum\limits_{k=m+1}^∞q^{k-1}=p(q^m+q^{m+1}+...)P(X>m)=k=m+1∑∞P(X=k)=pk=m+1∑∞qk−1=p(qm+qm+1+...)

由等比数列求和公式

原式=pqm(1−q∞)1−q原式=p\frac{q^m(1-q^∞)}{1-q}原式=p1−qqm(1−q∞)

因为q<1，所以当指数趋近于无穷

q∞=0q^∞=0q∞=0

又因为

1−q=p1-q=p1−q=p

所以

原式=qm原式=q^m原式=qm

即

P(X>m)=qmP(X>m)=q^mP(X>m)=qm

同理可得P(X>n)，P(X>m+n)。

Step 3

由Step 1中得到的

P(X>n+m∣X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)P(X>n+m∣X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)

带入Step 2中得到的结论

P(X>n+m)=qn+mP(X>n+m)=q^{n+m}P(X>n+m)=qn+m

P(X>n)=qnP(X>n)=q^nP(X>n)=qn

所以

P(X>n+m∣X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)=qn+mqn=qm=P(X>m)P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)=\frac{q^{n+m}}{q^n}=q^m=P(X>m)P(X>n+m∣X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)=qnqn+m=qm=P(X>m)

最后得到

P(X>n+m∣X>n)=P(X>m)P(X>n+m|X>n)=P(X>m)P(X>n+m∣X>n)=P(X>m)

由此，无记忆性的公式证明完成。