使用python来完成数据的线性拟合

拟合，顾名思义就是通过对数据的分析，找到数据之间的数学关系，把这种关系的本质理解的越深，得到的拟合度就越高，越能清晰描述数据间的相互联系。拟合有线性拟合和非线性拟合（多项式拟合）。本文着重线性拟合的思想，因为非线性拟合通过一定方法可以转换为线性拟合。演示代码用python实现。

我们有一组点序列（x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)。假如y与x是线性关系，可以表示为y=ax+b（直线方程），那么拟合就是要得到a和b这两个参数的值。得到最佳的a与b，从而使得点序列中所有点到此直线的距离之和最短。

完成一个拟合的练习，这里练习代码的思路是：

1. 指定好a和b的值，即模型已知（便于对比最后结果的准确度)，生成一组数据X和Y。

2. 给数据增加噪声，生成待拟合的样本数据。

3. 本代码中提供了三种方法来拟合样本。

3.1 最小二乘法: 求解出使得最小时的a和b。

3.2 常规方程法: 利用线性代数中求解方程的方法，解出权重系数矩阵θ，结果为

3.3 线性回归法: 用线性回归对此数据序列的建模为=,这里令，便于矩阵的构建，方便求出偏置。模型方程中的X矩阵为，x0和x1就是y=b*1+a*x 对应的1和x. 权重系数矩阵为，其实就是b，就是a。通过梯度下降法来求解使得损失函数取得最小值时的矩阵的值，就是最佳的a和b。

三种方法中选择1种进行拟合，从样本数据中计算权重参数a_和b_。

4.将拟合到的结果可视化

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from matplotlib import pyplot as pltSAMPLE_NUM = 100
print("您当前的样本数目为:",SAMPLE_NUM)# 先预设一个结果，假定拟合的结果为 y=-6x+10
X = np.linspace(-10, 10, SAMPLE_NUM)
a = -6
b = 10
Y = list(map(lambda x: a * x + b, X))
print("标准答案为：y={}*x+{}".format(a, b))# 增加噪声，制造数据
Y_noise = list(map(lambda y: y + np.random.randn()*10, Y))
plt.scatter(X, Y_noise)
plt.title("data to be fitted")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()A = np.stack((X, np.ones(SAMPLE_NUM)), axis=1)  # shape=(SAMPLE_NUM,2)
b = np.array(Y_noise).reshape((SAMPLE_NUM, 1))print("方法列表如下:""1.最小二乘法 least square method ""2.常规方程法 Normal Equation ""3.线性回归法 Linear regression")
method = int(input("请选择您的拟合方法: "))Y_predict=list()
if method == 1:theta, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)# theta=np.polyfit(X,Y_noise,deg=1) 也可以换此函数来实现拟合X和Y_noise,注意deg为x的最高次幂，线性模型y=ax+b中，x最高次幂为1.# theta=np.linalg.solve(A,b) 不推荐使用theta = theta.flatten()a_ = theta[0]b_ = theta[1]print("拟合结果为: y={:.4f}*x+{:.4f}".format(a_, b_))Y_predict = list(map(lambda x: a_ * x + b_, X))elif method == 2:AT = A.TA1 = np.matmul(AT, A)A2 = np.linalg.inv(A1)A3 = np.matmul(A2, AT)A4 = np.matmul(A3, b)A4 = A4.flatten()a_ = A4[0]b_ = A4[1]print("拟合结果为: y={:.4f}*x+{:.4f}".format(a_, b_))Y_predict=list(map(lambda x:a_*x+b_,X))elif method == 3:# 利用线性回归模型拟合数据，构建模型model = LinearRegression()X_normalized = np.stack((X, np.ones(SAMPLE_NUM)), axis=1)  # shape=(50,2)Y_noise_normalized = np.array(Y_noise).reshape((SAMPLE_NUM, 1))  #model.fit(X_normalized, Y_noise_normalized)# 利用已经拟合到的模型进行预测Y_predict = model.predict(X_normalized)# 求出线性模型y=ax+b中的a和b，确认是否和我们的设定是否一致a_ = model.coef_.flatten()[0]b_ = model.intercept_[0]print("拟合结果为: y={:.4f}*x+{:.4f}".format(a_, b_))else:print("请重新选择")plt.scatter(X, Y_noise)
plt.plot(X, Y_predict, c='green')
plt.title("method {}: y={:.4f}*x+{:.4f}".format(method, a_, b_))
plt.show()

这里我生成的待拟合数据如下图所示：

得到的拟合结果如下图所示：

结果分析，代码中生成的样本为100个点，上图为得到的拟合结果。如果要得到更准确的拟合结果，不妨设置SAMPLE_NUM为更大的数，会得到更好的拟合效果。我这里做了一组测试对比：可以明显看出，随着样本点数目的增多，拟合结果越来越逼近 y= -6*x+10这个标准答案了。

拟合结果对比
样本点数目	a	b
5	-6.0153	10.6758
50	-5.9589	10.0761
500	-5.9856	9.9706
5000	-6.0021	10.0086
50000	-6.0002	10.0002

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