方差(Variance)

什么是方差

方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。

方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。

标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。

方差的计算公式

设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：

对于分组数据，方差的计算公式为：

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

未分组数据：

分组数据：

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样本方差和标准差

样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1称为自由度。设样本方差为

，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：

未分组数据：

分组数据：

未分组数据：

分组数据：

例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：

3.43

3.45

3.43

3.48

3.52

3.50

3.39

3.48

3.41

3.38

3.49

3.45

3.51

3.50

根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？

解：根据已知数据，计算

因此，该机器工作正常。

方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

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http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E5%B7%AE

方差

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在概率论和统计学中，一个随机变量的“方差”描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。 一个实随机变量的方差也称为它的二阶距，恰巧也是它的二阶culmulent。 方差的算术平方根称为该随机变量的

[编辑] 定义

设 X 为服从分布 F 的随机变量，则称 Var(X) = E(X − EX)2 为随机变量 X 或者分布 F 的方差。

如果

是隨機變數 X 的期望值 (平均數) , 則其變異數為:

[编辑] 特性

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间： L^2(Ω, dP)，不过这里的内积和长度跟方差，标准差还是不大一样。 所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间， 并且有一个从老空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是方差

[编辑] 一般化

如果X是一个向量其取值范围在Rn空间，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(X − μ)(X − μ)T], 其中 μ = E(X) ，XT是X的转秩. 这个方差是一个非负定方阵，通常称为协方差矩阵。

如果X是一个复随机变量，那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)*], 其中X*是X的复共轭向量。根据这个定义，方差为实数。

[编辑] 历史

[编辑] 参考出处

Numerical recipes: The art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press. (online)

posted on 2009-03-12 22:51 donnie 阅读(9898) 评论(0)  编辑  收藏 所属分类: math