实变函数(3)-可测函数

1. 测度的补充

可测集是这样的点集,任意两个被它隔离的点集,其外测度都可加.

2.可测函数的概念

设E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn可测,fff是定义于E上的广义实值函数.若对于任意实数aaa,点集{x∣x∈E,f(x)>ax|x\in E,f(x)>ax∣x∈E,f(x)>a}是RnR^nRn内的可测集,则fff称为E上的Lebesgue可测函数,简称fff是E上的可测函数或fff在E上可测.

3.可测函数的性质

1.设fff是可测集E上的广义实值函数,则下列命题等价:
(1)f在E上可测;
(2)对任意实数aaa,点集E(f≥a)E(f\geq a)E(f≥a)可测;
(3)对任意实数aaa,点集E(f<a)E(f<a)E(f<a)可测;
(4)对任意实数aaa,点集E(f≤a)E(f\leq a)E(f≤a)可测;

4.简单函数

若函数φ\varphiφ定义在E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上,只取有限个不同的值a1,a2,....,aka_1,a_2,....,a_ka1,a2,....,ak,并且对每一个iii,取值aia_iai的点集Ei(x∣x∈E∣φ(x)=ai)E_i(x|x\in E|\varphi(x)=a_i)Ei(x∣x∈E∣φ(x)=ai)都是可测集,则称φ\varphiφ为E上的简单函数(这是E一定可测).当EiE_iEi是矩体时,称φ\varphiφ为阶梯函数.

5.可测函数的四则运算与极限性质

1.若f,gf,gf,g是点集E上的可测函数，则cf(x)cf(x)cf(x)(c为常数),f(x)+g(x),f(x)⋅g(x),f(x)/g(x)f(x)+g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)f(x)+g(x),f(x)⋅g(x),f(x)/g(x)(假定在E上每一点,这些运算都有意义)都是E上的可测函数.

2.若{fkf_kfk}是点集E上的可测函数列,则lim⁡‾k→+∞fk(x),lim⁡‾k→+∞fk(x),supfk(x),inffk(x)\underline {\lim}_{k \to +\infty} f_k(x),\overline {\lim}_{k \to +\infty} f_k(x),supf_k(x),inff_k(x)limk→+∞fk(x),limk→+∞fk(x),supfk(x),inffk(x).

3.若f,gf,gf,g都是E上的可测函数,则max(f(x),g(x))和min(f(x),g(x))max(f(x),g(x))和min(f(x),g(x))max(f(x),g(x))和min(f(x),g(x))在 E上可测.

4.若lim⁡k→∞fk(x)\lim_{k \to {\infty}}f_k(x)limk→∞fk(x)对任意x∈Ex\in Ex∈E有意义,则lim⁡k→∞fk(x)\lim_{k \to {\infty}}f_k(x)limk→∞fk(x)为可测函数.

5.若fff是点集EEE上的可测函数,E0E_0E0是E上的可测函数,E0E_0E0是E的可测子集.则fff在点集E0E_0E0上的限制是E0E_0E0上的可测函数.

6.设{EkE_kEk}为可测集列,若函数fff在每个点集EkE_kEk上可测,则fff在点集E=⋃k=1∞EkE=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_kE=k=1⋃∞Ek上可测.

6.可测函数的逼近原理

1.若函数fff在E非负可测,则存在非负简单函数的递增列{φk\varphi_kφk}(即0≤φk≤φk+1,k=1,2,3......0\leq \varphi_k \leq \varphi_{k+1},k=1,2,3......0≤φk≤φk+1,k=1,2,3......)使得lim⁡k→∞φk(x)=f(x),x∈E\lim_{k \to {\infty}} \varphi_k(x)=f(x),x\in Ek→∞limφk(x)=f(x),x∈E.
2.若函数fff是在EEE上的(变号的)可测函数,则存在简单函数列{φk\varphi_kφk},满足∣φk∣≤∣f(x)∣|\varphi_k|\leq |f(x)|∣φk∣≤∣f(x)∣,且使得lim⁡k→∞φk(x)=f(x),x∈E\lim_{k \to {\infty}} \varphi_k(x)=f(x),x\in Ek→∞limφk(x)=f(x),x∈E.若fff还是有界的,则上述收敛是一致的.
3.若∣fk∣|f_k|∣fk∣是E上的可测函数列,lim⁡k→∞fk(x)=f(x)\lim_{k \to {\infty}}f_k(x)=f(x) k→∞limfk(x)=f(x)a.e.于E,则函数f在E上可测.

7.Egorov定理

1.设E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn可测且mE<∞mE<\inftymE<∞,{fkf_kfk}是在EEE上几乎处处有限又几乎处处收敛的可测函数列,并且它的极限函数fff在EEE上也是几乎处处有限的,则对于任意正数δ\deltaδ,存在E的可测子集Eδ<δE_{\delta}<\deltaEδ<δ,而在E\EδE\backslash E_{\delta}E\Eδ上,{fkf_kfk}一致收敛于fff.
2.设E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn可测,{fkf_kfk}与fff是在EEE上几乎处处有限的可测函数列,则{fkf_kfk}在A(⊂E)A(\subset E)A(⊂E)一致收敛到fff的充分必要条件的存在自然数的递增列{klk_lkl},使得A=⋂l=1∞⋂k=kl∞AklA=\bigcap_{l=1}^{\infty}\bigcap_{k=k_l}^{\infty}A_{kl}A=l=1⋂∞k=kl⋂∞Akl其中AklA_{kl}Akl是由(1)表示的集合.
2.设E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn可测且mE<∞mE<\inftymE<∞,{fkf_kfk}是在E上几乎处处有限又几乎处处收敛的可测函数列,并且它的极限函数fff在EEE上也是几乎处处有限的,则对于任意正整数lll有,lim⁡l→∞(⋃k=j∞Bkl)=0\lim_{l\to {\infty}}(\bigcup_{k=j}^{\infty}B_{kl})=0l→∞lim(k=j⋃∞Bkl)=0其中Bkl={x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥1/l}B_{kl}=\lbrace x\in E | |f_k(x)-f(x)|\geq1/l\rbraceBkl={x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥1/l}

8.依测度收敛

1.设函数fff及fk(k=1,2,...)f_k(k=1,2,...)fk(k=1,2,...)在E⊂RnE\subset R_nE⊂Rn上可测且几乎处处有限.若对任意的ε>0\varepsilon >0ε>0有lim⁡k→∞m({x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥ε})=0\lim_{k \to {\infty}}m(\lbrace x\in E | |f_k(x)-f(x)|\geq \varepsilon \rbrace)=0k→∞limm({x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥ε})=0则称函数列{fkf_kfk}依测度收敛于f.
2.若fff和fk(k=1,2.....)f_k(k=1,2.....)fk(k=1,2.....)是在E上几乎处处有限的可测函数,mE<∞mE<\inftymE<∞,并且fk(x)→f(x)a.e.f_k(x)\to f(x)a.e.fk(x)→f(x)a.e.于EEE,则在EEE上{fk(x)f_k(x)fk(x)}依测度收敛于fff.

9. 依测度收敛的极限唯一性

1.若函数列{f_k}在点集E上同时依测度收敛到fff和ggg,则fff和ggg在EEE对等.

10.里斯(F.Risez)定理

1.若{fkf_kfk}在E上依测度收敛到fff,则必有子序列在EEE上几乎处处收敛到fff.
2.假设fff,fk(lk=1,2....)f_k(lk=1,2....)fk(lk=1,2....)是在EEE上几乎处处收敛的可测函数.若对于任意的正整数l有lim⁡j→inftym(⋃k=j∞{x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥1/l})=0\lim_{j \to {infty}}m(\bigcup_{k=j}^{\infty}\lbrace x \in E| |f_k(x)-f(x)|\geq1/l\rbrace)=0j→inftylimm(k=j⋃∞{x∈E∣∣fk(x)−f(x)∣≥1/l})=0则lim⁡k→∞fk(x)=f(x)a.e.x∈E\lim_{k \to {\infty}}f_k(x)=f(x) a.e.x\in Ek→∞limfk(x)=f(x)a.e.x∈E

11. Lusin定理

1.若fff是在E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn是几乎处处有限的可测函数,则对于任意ε>0\varepsilon>0ε>0,存在闭集F⊂EF \subset EF⊂E,使得fff在FFF上连续且m(E\F)<εm(E\backslash F)<\varepsilonm(E\F)<ε.
2.若fff是可测集E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的可测函数,则对于任意正数ε\varepsilonε,存在RnR^nRn上的连续函数ggg,使得m{x∈E∣f(x)≠g(x)}<εm\lbrace x \in E|f(x)\neq g(x)\rbrace <\varepsilonm{x∈E∣f(x)̸=g(x)}<ε若f(x)f(x)f(x)还有界:∣f(x)∣≤M(x∈E)|f(x)|\leq M(x\in E)∣f(x)∣≤M(x∈E),则连续函数ggg还可以满足∣g(x)∣≤M(∀x∈Rn)|g(x)|\leq M(\forall x\in R^n)∣g(x)∣≤M(∀x∈Rn).

12.支撑集

1.设f(x)在RnR^nRn的某个集合E有意义,称集合{x∈E∣f(x)≠0}\lbrace x\in E|f(x) \neq 0 \rbrace{x∈E∣f(x)̸=0}的闭包为fff的支(撑)集,记为suppfff,即
suppf={x∈E∣f(x)≠0}‾\rm{supp} \it{f=\overline{\lbrace x\in E |f(x)\neq 0 \rbrace}}suppf={x∈E∣f(x)̸=0}
若fff的的支(撑)集是RnR^nRn的有界闭集,则称fff是具有紧支集的.
2.设fff在E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn可测,E有界,则对任意ε>0\varepsilon >0ε>0,存在具有紧支集的连续函数ggg使得m{x∈E∣f(x)≠g(x)}<εm\lbrace x \in E |f(x)\neq g(x) \rbrace<\varepsilonm{x∈E∣f(x)̸=g(x)}<ε