高数 | 导数零点定理为什么导数可以不连续？

零点定理定义：如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断（连续）的一条曲线（可导），并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

达布定理定义：设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且【a,b】包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η。

已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数：g(x)=f(x)-ηx。若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η

可导函数，当导数不连续时，必然存在震荡间断点。

这就使导函数在震荡的时候穿过x轴使得f'(c)=0，也解决了我的疑问。

（导数零点定理的证明中，没有使用到导数连续这个条件，所以也就是说导数可以不连续，其实这就已经说明了这个问题的答案）

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