利用矩阵特征值求解多项式的根

在PnL方法求相机位姿，Point—to—Line方法的点云匹配问题中，会将其中某一个参数的求解建模成求一个多项式的根。如下式所示：

$\\ P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^n = 0$ (1)

那么求解这样的一个多项式的根应该怎么做呢？参考文献1告诉我们可以利用矩阵特征值方法来求解，下面就简单的记录一下这个方法。

$P(x) = a_1x^3 + a_2x^2+a_3x+a_4 = 0$ (2)

而矩阵特征值的定义为：

$A\textbf{y} = \lambda \textbf{y}$ (3)

要将矩阵A的特征值和多项式P(x) 的根联系起来，我们可以假设此时多项式P(x)的根就是矩阵 A阵的特征值，因此有：

$A\textbf{y} = x\textbf{y}$ (4)

也就是说应该要有一个合理的矩阵A和特征向量y 能将(2)式等价为(4)式。

此时如果令： $\textbf{y} = [x^2,x,1]^T$ ，就很容易得到矩阵A了。

$A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^2\\x\\1 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} x^2\\x\\1 \end{bmatrix} \Rightarrow A = \begin{bmatrix} -a_2/a_1&a_{3}/a_1&a_{4}/a_1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix}$ (5)

那么接下来就用简单的代码验证下。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/Dense>
#include<unsupported/Eigen/Polynomials>
using namespace std;int main()
{//setting coefficient of polynomial // 9x^4+ 34x^3 + x^2 -100x +201 =0Eigen::VectorXf coeffs(5);coeffs(4) = 9;coeffs(3) = 34;coeffs(2) = 0;coeffs(1) = 0;coeffs(0) = 9;Eigen::Matrix4f A;A << -coeffs(3)/coeffs(4),-coeffs(2)/coeffs(4),-coeffs(1)/coeffs(4),-coeffs(0)/coeffs(4),1,                    0,                    0,                 0,0,                    1,                    0,                 0,0,                    0,                    1,                 0;// SloveEigen::EigenSolver<Eigen::MatrixXf> ES(A);std::cout << "Roots:\n" << ES.eigenvalues().transpose() << std::endl;// // Check resultsEigen::PolynomialSolver<float,4> solve;solve.compute(coeffs);cout << "Eigen Method:\n" << solve.roots().transpose() << endl;return 0;
}

结果如下：

同步更新在：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/363946630

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