转速环PI参数整定详解（三）——转速环开环传函特性及其整定策略(有最终推导结果公式)

3 转速环开环传函及其特性

转速环的传递函数框图中各个环节的来源，在前两个文章已经详细说明。接下来就应该对转速环的开环传递函数特性进行分析，及其整定策略进行详细的探究了。

以上为转速环的传函框图，经过计算可得开环传递函数为（电流环等效于1/3Ts*s+1），转速环的传递函数是一个典型二型系统，对于典型二型系统而言，要想保证系统性能，仍然是保证中频带的斜率为-20db，中频带宽也需要满足系统稳定性、准确性和快速性要求。为了能够更加具体分析一个典型二型系统具体的性能，则需要对其幅频和相频特性进行分析。我想大家对于自动控制原理这门课肯定不陌生，幅频和相频分析能够准确的给出一个系统性能指标，因为我们从胡寿松这本自动控制原理教材为基础，一点一点对转速环的性能进行分析。

对转速环的开环传函进行推导，其过程如下，注意下图第一项就是 PI调节器的传递函数。

注意：我们求 PI 的思路，就是先把一个响应效果符合预期效果的 KN 和 taoN 计算出来，再反过来推算PI 调节器的 Kp 和 Ki

4 三阶传函的幅频相频图（转速环也是三阶）

在得到转速环的开环传递函数之后，根据前文系列自动控制原理文章中对于二阶系统的开环特性分析，我们也应对转速环进行开环分析。那么对于转速环而言，其分析思路与他类似。转速环是一个三阶系统，根据上节推导出来的转速环开环传递函数Gopen，可以得到转速环的开环系统框图。系统框图如下图所示：

对于这个地方的分析，我们仍然按照二阶系统的方式分析。有以下几个特点：

1、有两个纯积分环节，幅频特性初始斜率为-40dB，初始相位角度为-180°。

2、转折频率分为1/0.00004 = 25000rad/s、1/taon。

设开环增益为1，taon为0.01。因此可以得到其相幅特性曲线，如下图所示。这里解释一下，两个转折频率有所不同，第一个转折频率是微分环节的转折频率100rad/s，第二个转折频率为惯性环节的转折频率25000rad/s，微分环节会导致幅频特性的曲线斜率减小，相频幅值上升，所以会在图中出现相频曲线凹凸的地方，而这个凹凸的范围就是所谓的中频带宽。第一个红点左侧是低频带，两个红点中间是中频带，第二个红点右侧是高频带。

在自动控制系统里面，有两个非常关键的结论：中频带宽决定了系统的响应速度，而截止频率的相位裕度决定了系统的稳定性。那么对于电机控制系统而言，设计参数的过程就是对这两个指标进行优化。下面就对具体的电机转速环的参数进行设计。

5 转速环具体参数设计

中频带宽和截止频率的相位裕度是我们转速环设计的指标。截止频率处的相位裕度比较好确定，至少为45°，且越大越好。那么转速环一般需要多大的带宽呢？这个我认为是根据采样频率定的，比如采样时间为0.00001s，那么惯性环节的转折频率就是1/0.00004=25000。而lg25000 = 4.39。考虑到低频带宽也需要至少为1.5的宽度，那么我们的转速环带宽就可以设计为2.5即可。lg25000 - lg x = 2.5。经过计算，微分环节的转折频率 x = 80，那么taon = 1/80 = 0.0125。如果采样频率更高的话，可以相应的把中频带宽设计得更宽一些，这个就看我们的系统了，其计算方法是一致的。

第一步：设计中频带宽，计算taon。

其计算公式如下所示：

那么在确定了taon之后，中频带宽也就确定了

第二步：设计相位裕度，计算开环增益。这个计算开环增益，我们要取个巧，因为我们知道相频曲线的最高点，肯定是相位裕度最大的点。并且这个点也是两个转折频率的中点，如果我们将截止频率恰好设计到两个转折频率的中点，就能保证相位裕度为最大值。

比如我们刚刚说的第二个转折频率 lg25000 = 4.39(4.4)，而第一个转折频率为 lg80 = 1.9。那么中点的位置就是 1.9+2.5/2=3.15。

那wc和KN又有什么关系呢？这里我直接给出来吧。

最终得到关系式：

根据 KN 、 taon 和转速环PI调节器 Kp 和 Ki 之间的关系可得（补充一下：因为我的系统近似是4Ts，这里将4Ts看作一个量Tsm，其实也有时候不一定是 4Ts）：

6 转速环反馈效果

根据带宽h，Ts还有电机参数，算出来的参数带入系统中看看效果。在0.1秒施加额定转矩，可以看到转速效果较好的跟随。幅频特性也整定到了我们需要的效果了。

小结：

从上面的分析，我们再来个回溯，从调节PI调节器的过程中Kp 和 Ki 的变化回溯到幅频曲线性能。毕竟我们调试的时候调试的是Kp 和 Ki ，就再探究一步，探究到底，看看我们调试过程中对Kp和Ki的修改到底对系统造成了什么影响。

第一步:拆解PI调节器

第二步：分析变化

增大 KN ==> 幅频曲线向上移动，截止频率 wc 增大
增大 taoN ==> 1/taoN 减小 ==> 转折频率左移 ==> 中频带宽变宽
减小 KN ==> 幅频曲线向下移动，截止频率 wc 减小
减小 taoN ==> 1/taoN 增大 ==> 第一个转折频率右移 ==> 中频带宽变窄

不同 KN taoN 系统的幅频相频特性曲线图，从图中可以看出符合上述结论。

观察 KN = 1e5 taoN = 0.0126 和 KN = 1e6 taoN = 0.0126 KN的仿真结果，可知增大会使得幅频曲线上移，截止频率 wc（幅频曲线与0轴的交点）变大，但是相频曲线不变化，从而也导致了截止频率处的相位裕度不再是最优点90°，减小了约30°。

观察 KN = 1e6 taoN = 0.0126 和 KN = 1e6 taoN = 0.00126 KN的仿真结果，可知增大 taoN，会使得第一个转折频率左移，幅频曲线转折点提前，因此相对于 KN = 1e6 taoN = 0.0126 的截止频率更小，在 taoN = 0.00126 时截止频率 wc 更小，相频曲线变化明显，中频带变窄，系统相位裕度整体降低。

第三步：推导 KN、taoN 与 Kp 、Ki 的关系

从上面的传递函数分析我们可以发现一个关键问题，KN和taoN同时决定了系统的性能，调节Kp和Ki会相应引起这个两个参数的变化。所以大家看，这就是为什么要进行那么多文章的分析，且非要对KN和taoN抓着不放，因为KN和taoN这两个变量能够单独决定系统的单一某个性能，但是Kp 和 Ki不行，我们如果把这个KN 和 taoN分析透彻了，那Kp 和 Ki是不是都解决了。

经过推导，KN 、taoN 和 Kp Ki关系如下：

通过对上式进行分析，可得到以下结论：

增大 Kp 不变Ki ==> taoN 增大，KN不变==> 1/taoN 减小 ==> 第一个转折频率左移（第一个转折频率由 1/taoN 决定） ==> 中频带宽变宽，同时导致截止频率 wc 增大（原因：斜率为 -40dB 的持续时间变短）
减小 Kp 不变Ki ==> taoN 减小，KN不变 ==> 1/taoN 增大 ==> 第一个转折频率右移（第一个转折频率由 1/taoN 决定） ==> 中频带宽变窄，同时导致截止频率 wc 减小（原因：斜率为 -40dB 的持续时间变长）
增大 Ki 不变Kp ==> taoN减小，KN 增大 ==> 幅频向上移动，第一个转折频率右移 ==> 中频带宽变窄，截止频率的变化决定于增大幅度
减小 Ki 不变Kp ==> taoN增大，KN 减小 ==> 幅频向下移动，截止频率 wc 减小 ==> 中频带宽变宽，截止频率的变化决定于减小幅度

第四步：实验改变 Kp 、Ki 的对幅频特性相频特性影响。

今天先分析到这里，明天把具体调节Kp和 Ki的过程中幅频曲线变化的情况，以及阶跃响应的结果，这将更为直接的对Kp和 Ki 对系统的影响进行分析。留个底留个底。

（1） Kp =0.4，Ki = 31时，幅频相频曲线如下图所示，这是我整定过的，从图中可以看出截止频率 wc 处具有最大的相位裕度，此时中频带宽为 2.5 。

（2）增大Kp，Ki不变仿真， Kp =4，Ki = 31时，前后幅频曲线对比如下图所示，相对于Kp =0.4，Ki = 31 第一个转折频率左移，中频带宽增大，截止频率 wc 变大，但截止频率处的相位裕度降低了约20°。由于截止频率相位裕度降低，系统稳定性降低，由于中频带宽增大，快速性更好，但可能出现小幅震荡或超调，因为对低频噪声的滤除不够了。减小Kp 效果与此相反，分析过程与此类似。

（3）增大Ki，Kp不变仿真， Kp =0.4，Ki = 3.1时，前后幅频曲线对比如下图蓝线所示，相对于Kp =0.4，Ki = 31（蓝色线），第一个转折频率左移，中频带宽增大，转折频率 wc 变化较小，但截止频率处的相位裕度有10°左右提升。由于截止频率相位裕度升高，系统稳定性编号，由于中频带宽增大，快速性更好，但可能出现小幅震荡或超调，因为对低频噪声的滤除不够了。增大效果与此相反，分析过程与此类似，Kp =0.4，Ki = 310曲线如图中红线所示。

第五步：有针对的修改Kp和Ki

上述 Kp 和 Ki 单独修改时，都会造成系统截止频率、中频带宽、相位裕度的变化，没有一个单一变量点对点的效果，但是真正决定系统性能的就是中频带宽、截止频率和相位裕度，那么我们就针对这三个指标来调PI。

首先随便给个系统，由于第二个转折频率我们是可以直接知道的，因为系统的采样频率知道，为0.00001秒，将电流环近似为一阶惯性环节 1/4*0.00001s+1 ,那么截止频率是 1/0.00004=25,000.0

lg25000 = 4.39

带宽设置为 2.39，那么第一次转折频率为 lg wz = 2，wz = 100，而

wz = 1/taoN

taoN = 0.01 = Kp/Ki

设置一个初值 Kp = 1 Ki = 100 ,在这个基础上开始调。现象如下图所示，稳态时跟现象一：跟随性能无静态误差，说明幅频特性较好，加载抗扰动性能也较好，但存在震荡，推测可能是截止频率太高了，并且稳态裕度最高点不在截止频率处。

那么降低截止频率试试，方法降低 KN，不更改 taoN，那么Ki 降低，并且 Kp同步降低，降低三倍吧。

更改后现象：Kp = 0.3 Ki = 30

可以看到这个震荡波动明显减小，并且稳态跟随特性得到保持

但是存在明显的超调量，考虑还是因为截止频率太高了，再次降低 KN，不更改 taoN，

更改后现象，Kp = 0.1 Ki = 10

从图中可以看出，虽然系统的震荡减小了，但是动态响应的性能下降了，首先是调节时间，其次是扰动后的恢复时间，因此考虑此时的截止频率太低了。增大一下：

Kp = 0.2 Ki = 20

此时的系统性能已经可以了，但是超调为20%，且调节时间较长，

试着缩小带宽，即

wz = lg（1/taoN）

taoN = 0.01 = Kp/Ki

减小taoN的大小，增大wz的大小，

有两个措施，第一个减小P，第二个增大 i，

如果减小 P，那么KN不会变化，

由于第一个转折频率向右推移，因此截止频率减小，看看效果。

Kp = 0.1 Ki = 20

小幅震荡的效果消失了，调节时间缩短，且扰动的调节时间缩短了。

如果增大 I ，那么KN变大，

由于第一个转折频率向右推移，因此截止频率减小，看看效果。

Kp = 0.2 Ki = 40

小幅震荡的结果未消失，调节时间缩短，且扰动的调节时间缩短了

震荡的存在，考虑还是因为开环增益大了，那么选择折中的方案，同时减小Kp ，减小Ki

Kp = 0.15, Ki = 30

如果追求响应速度，考虑两种情况，相位裕度最高点在当前截止频率左侧，那么应该单独降低截止频率，同时缩小Kp 和 Ki

Kp = 0.1 ki = 20

效果变差，那么试试增大截止频率

对比Kp = 0.15 Ki = 30

那么最优值应该处于两者中间。

kp = 0.125 Ki =25

最后这个结果就调出来了。

小结：

PI的调节有时候在传递函数知道的时候，可以根据前文所述的公式进行直接计算，但是在实际控制系统中的，大部分时候我们是不知道这个具体的传递函数的，只知道一个采样率什么的，那么这个时候就需要根据自己的经验去试凑，往往有经验的工程师很快能找到最优值，但是对于我们这种调得少的，那就有点困难。如果能够结合幅频相频特性曲线，结合截止频率、带宽、相位裕度三个指标去有方向的调节PI，这能够大大节省我们的时间，总的来说，这个从电机传函、到bode图、在回溯到PI这里来，这一系列文章也让我学到了不少的东西，对自动控制原理的理解也更加深刻了，对于系统的各种指标也有了不一样的理解，这样的探究很细也很枯燥，但是我觉得这是很有意义的，最后仿真结果符合理论推导，更是让我感受到了甜头，继续下去！生活也不一定要锦衣玉食，但是一定要有学有所得的感觉。

整理不易，希望大家帮忙点个赞呀~谢谢啦~^_^

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