CQF笔记M1L4随机分析和伊藤引理

Module 1 Building Blocks of Quant Finance
- Lecture 4 Stochastic Calculus and Itˆo’s Lemma
- - 抛硬币实验
  - 马可夫属性 Markov property
  - 鞅属性 martingale property
  - 二次变分 Quadratic variation
  - 布朗运动 Brownian motion
  - 随机变量的函数
  - 泰勒级数和伊藤引理
  - 随机微分方程

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 4 Stochastic Calculus and Itˆo’s Lemma

由于金融市场潜在的随机本质（假设），随机分析在金融过程的数据建模中非常重要。

抛硬币实验

规则：抛出正面赢1元，抛出反面输1元，概率都是12\frac{1}{2}21，任意抛硬币的行为相互独立

Ri={1,ifH−1,ifT\begin{aligned} R_i= \begin{cases} 1, if \ H\\ -1, if \ T\\ \end{cases} \end{aligned}Ri={1,if H−1,if T

E(Ri)=1×12+(−1)×12=0V(Ri)=12×12+(−1)2×12=1E(RiRj∣i≠j)=0\begin{aligned} & E(R_i) = 1 \times \frac{1}{2}+(-1) \times \frac{1}{2} = 0 \\ & V(R_i) = 1^2 \times \frac{1}{2}+(-1)^2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ & E(R_iR_j|i \neq j) = 0 \\ \end{aligned}E(Ri)=1×21+(−1)×21=0V(Ri)=12×21+(−1)2×21=1E(RiRj∣i=j)=0

考察抛iii次硬币之后的现金总和
Si=∑j=1iRj,S0=0\begin{aligned} S_i = \sum_{j=1}^{i} R_j, S_0 = 0 \end{aligned}Si=j=1∑iRj,S0=0

E(Si)=0V(Si)=E(Si2)=∑m=1i∑n=1iE(RmRn)=∑n=1iE(Rn2)=i\begin{aligned} & E(S_i) = 0 \\ & V(S_i) = E(S_i^2) = \sum_{m=1}^{i}\sum_{n=1}^{i}E(R_mR_n) = \sum_{n=1}^{i}E(R_n^2) = i \\ \end{aligned}E(Si)=0V(Si)=E(Si2)=m=1∑in=1∑iE(RmRn)=n=1∑iE(Rn2)=i

条件期望E(S6∣R1,⋯,R5)=S5\begin{aligned} & E(S_6 | R_1, \cdots, R_5) = S_5 \\ \end{aligned}E(S6∣R1,⋯,R5)=S5
备注：第五次抛出硬币后，第六次自身的期望为0，因此条件期望等于第五次的现金数量

马可夫属性 Markov property

随机变量SiS_iSi的所有过去时间的条件分布，只依赖于上一时刻的值Si−1S_{i-1}Si−1

Markov property表示随机游走没有记忆
不要求随机变量SiS_iSi的期望值与上一时刻Si−1S_{i-1}Si−1的期望相同
更一般化一些，对于1≤j<j1 \le j \lt j1≤j<j, 只有含有信息的最大的jjj对应的SjS_jSj，对估计SiS_iSi是有用的（有信息的）

鞅属性 martingale property

鞅属性的定义E(Si∣Sj,j<i)=Sj\begin{aligned} & E(S_i | S_j, j < i) = S_j \\ \end{aligned}E(Si∣Sj,j<i)=Sj

站在jjj时刻看未来的iii时刻，iii时刻的条件期望

二次变分 Quadratic variation

二次变分的定义Q=∑j=1i(Sj−Sj−1)2\begin{aligned} & Q = \sum_{j=1}^{i} (S_j - S_{j-1})^2 \\ \end{aligned}Q=j=1∑i(Sj−Sj−1)2

由于抛硬币的(Sj−Sj−1)2=1(S_j - S_{j-1})^2 = 1(Sj−Sj−1)2=1, 所以Q=iQ=iQ=i

布朗运动 Brownian motion

修改抛硬币实验的规则：

抛6次，总时长为ttt, 则单次实验的时长为t/6t/6t/6
赌注从111改为t/6\sqrt{t/6}t/6

二次变分 Q=∑j=16(Sj−Sj−1)2=6(t6)2=t\begin{aligned} & Q = \sum_{j=1}^{6} (S_j - S_{j-1})^2 = 6 (\sqrt{\frac{t}{6}})^2 = t\\ \end{aligned}Q=j=1∑6(Sj−Sj−1)2=6(6t)2=t

假设抛nnn次，总时长仍然是ttt, 赌注改为t/n\sqrt{t/n}t/n, 二次变分 QQQ仍然等于ttt

当逐渐增加nnn, 步长以n−1n^{-1}n−1的速度下降, 而赌注以n−1/2n^{-1/2}n−1/2的速度下降

当n=∞n=\infinn=∞时
E[S(t)]=E[lim⁡n→∞∑i=1nRi]=0V[S(t)]=E[S(t)2]=t\begin{aligned} & E[S(t)] = E[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}R_i] = 0 \\ & V[S(t)] = E[S(t)^2] = t \end{aligned}E[S(t)]=E[n→∞limi=1∑nRi]=0V[S(t)]=E[S(t)2]=t

E[S(t)2]=lim⁡n→∞∑i=1n∑j=1nE(RiRj)=lim⁡n→∞∑i=1nE(Ri2)=lim⁡n→∞n×tn=t\begin{aligned} E[S(t)^2] = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}E(R_iR_j) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}E(R_i^2) = \lim_{n \to \infty} n \times \frac{t}{n} = t \end{aligned}E[S(t)2]=n→∞limi=1∑nj=1∑nE(RiRj)=n→∞limi=1∑nE(Ri2)=n→∞limn×nt=t

这种随机游走称为布朗运动，记为X(t)X(t)X(t), 布朗运动有如下性质：

X(0)=x0=0X(0) = x_0 = 0X(0)=x0=0
Finiteness: 赌注随时间的平方根增长
Continuity: 路径连续
Markov: 在给定的τ\tauτ时刻，τ<t\tau \lt tτ<t, X(t)X(t)X(t)的条件分布仅依赖X(τ)X(\tau)X(τ)
Martingale: 在给定的τ\tauτ时刻, τ<t\tau \lt tτ<t, X(t)X(t)X(t)的条件期望是X(τ)X(\tau)X(τ)
Normality: 在有限时间ti−1t_{i-1}ti−1到tit_iti, X(ti)−X(ti−1)∼N(0,ti−ti−1)X(t_i) - X(t_{i-1}) \sim N(0, t_i - t_{i-1})X(ti)−X(ti−1)∼N(0,ti−ti−1), dX∼N(0,dt)dX \sim N(0, dt)dX∼N(0,dt)

将XtX_tXt看做随机游走的最终结果
Xt∼N(0,t)X_t \sim N(0, t)Xt∼N(0,t), 即Xt=ϕt,ϕN(0,1)X_t = \phi \sqrt{t}, \phi ~ N(0, 1)Xt=ϕt,ϕ N(0,1)

XXX的增量
dX∼N(0,dt)dX \sim N(0, dt)dX∼N(0,dt), 即dX=ϕdtdX = \phi \sqrt{dt}dX=ϕdt

随机变量的函数

F(X)=X2F(X)=X^2F(X)=X2

随机变量的微分

随机世界的两个变量：时间ttt和布朗运动XXX

dXdXdX是dt\sqrt{dt}dt的同阶无穷小，因此远大于dtdtdt。

考虑梯度、斜率、微分、敏感性时，要非常小心，因为这些会使dtdtdt趋向于0

因此在随机世界中，使用随机微分方程:dF=⋯dt+⋯dXdF=\cdots dt + \cdots dXdF=⋯dt+⋯dX

普通的微积分法则不适用于随机世界
假设F(X)=X2F(X)=X^2F(X)=X2, 则dF≠2XdXdF \neq 2XdXdF=2XdX

泰勒级数和伊藤引理

简单泰勒展开，忽略高阶项
F(X+dX)=F(X)+dFdXdX+12d2FdX2dX2\begin{aligned} F(X+dX)=F(X)+\frac{dF}{dX}dX + \frac{1}{2}\frac{d^2F}{dX^2}dX^2 \end{aligned}F(X+dX)=F(X)+dXdFdX+21dX2d2FdX2

移项，得到
dF=dFdXdX+12d2FdX2dX2\begin{aligned} dF=\frac{dF}{dX}dX + \frac{1}{2}\frac{d^2F}{dX^2}dX^2 \end{aligned}dF=dXdFdX+21dX2d2FdX2

dX2dX^2dX2在时间步长逐渐变小为dtdtdt时，等于其均值dtdtdt, 也就是说没有随机性。
这里似乎能说得通，但是没有严格证明，按照同样的逻辑dXdXdX应该等于dt\sqrt{dt}dt

RULE OF THUMB一般指拇指规则。拇指规则(RULE OF THUMB) ，中文又译为“大拇指规则 ”，又叫”经验法则“，是一种可用于许多情况的简单的，经验性的，探索性的但不是很准确的原则。

这里得到dX2=dtdX^2=dtdX2=dt是Rule of thumb
似乎这就是伊藤引理的结论

对于F=X2F=X^2F=X2, 带入泰勒级数
dFdX=2Xd2FdX2=2dF=dt+2XdX\begin{aligned} & \frac{dF}{dX} = 2X \\ & \frac{d^2F}{dX^2} = 2 \\ & dF = dt + 2XdX \\ \end{aligned}dXdF=2XdX2d2F=2dF=dt+2XdX
这是随机微分方程的一个例子

随机微分方程

随机微分方程用于建模随机量，例如股价。
这种随机量，例如股价，可以分解为确定性（可预测）和随机性两部分。

确定性部分用dtdtdt建模，随机性部分用dXdXdX建模: dS=f(S,t)dt+g(S,t)dXdS = f(S,t) \ dt + g(S,t) \ dXdS=f(S,t) dt+g(S,t) dX
其中f(S,t)f(S,t)f(S,t)称为growth rate或者drift, g(S,t)g(S,t)g(S,t)与S的波动率有关。

带漂移的简单布朗运动

dS=μdt+σdXdS = \mu dt + \sigma dXdS=μdt+σdX

这种形式的S可能为负值

带随机漂移的简单布朗运动

dS=μSdt+σSdXdS = \mu S dt + \sigma S dXdS=μSdt+σSdX

如果SSS的初值为正数，则SSS永远不可能变为负数，因为SSS越接近000时，dSdSdS的漂移项越接近0

假设σ=0\sigma = 0σ=0, 变成普通的微分方程，求解得到St=S0eμtS_t = S_0 e^{\mu t}St=S0eμt

均值复归的随机游走

dS=(ν−μS)dt+σdXdS = (\nu - \mu S)dt + \sigma dXdS=(ν−μS)dt+σdX

当SSS变大到dtdtdt的系数为负时, SSS的均值会变小

用rrr替换SSS, 就是短期利率的 Vasicek model

短期利率的Cox, Ingersoll & Ross model

dS=(ν−μS)dt+σS1/2dXdS = (\nu - \mu S)dt + \sigma S^{1/2} dXdS=(ν−μS)dt+σS1/2dX

当S接近0时，随机性会变小
这个微分方程在后面很重要

系数都是ttt的函数

dW=g(t)dt+f(t)dWdW = g(t)dt + f(t)dWdW=g(t)dt+f(t)dW

这个SDE是下面随机积分的shorthand

W(t)=∫0tg(τ)dτ+∫0tf(τ)dX(τ)W(t) = \int_0^t g(\tau)d\tau + \int_0^t f(\tau)dX(\tau)W(t)=∫0tg(τ)dτ+∫0tf(τ)dX(τ)

mean square limit

用在随机积分中

考察随机量
E[(∑j=1n(X(tj)−X(tj−1))2−t)2]wheretj=jt/n=E[∑j=1n(X(tj)−X(tj−1))4+2∑i=1n∑j<in(X(ti)−X(ti−1))2(X(tj)−X(tj−1))2−2t∑j=1n(X(tj)−X(tj−1))2+t2]=n3t2n2+n(n−1)t2n2−2tntn+t2∼O(1n)\begin{aligned} &E[(\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 - t)^2] \ where \ t_j = jt/n \\ = &E[\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^4 + 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \lt i}^{n} (X(t_i) - X(t_{i-1}))^2 (X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 - 2t\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 + t^2] \\ = & n \frac{3t^2}{n^2} + n(n-1)\frac{t^2} {n^2}-2tn\frac{t}{n}+t^2 \\ \sim &O(\frac{1}{n}) \end{aligned}==∼E[(j=1∑n(X(tj)−X(tj−1))2−t)2] where tj=jt/nE[j=1∑n(X(tj)−X(tj−1))4+2i=1∑nj<i∑n(X(ti)−X(ti−1))2(X(tj)−X(tj−1))2−2tj=1∑n(X(tj)−X(tj−1))2+t2]nn23t2+n(n−1)n2t2−2tnnt+t2O(n1)

推导过程中有个隐含前提X(tj)−X(tj−1)∼N(0,t/n)X(t_j) - X(t_{j-1}) \sim N(0, t/n)X(tj)−X(tj−1)∼N(0,t/n), 其二阶矩（方差）为t/nt/nt/n, 四阶矩为3t2/n23t^2/n^23t2/n2

当n→∞n \to \infinn→∞时前面计算的随机量等于0

在mean square limit 均方极限语境下，认为∑j=1n(X(tj)−X(tj−1)2=t\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1})^2 = t∑j=1n(X(tj)−X(tj−1)2=t, 记做: ∫0t(dX)2=t\int_0^t (dX)^2 = t∫0t(dX)2=t

后续的证明中，提到相等equality，都指的是均方极限语境