CQF笔记M2L3VaR和ES

Module 2 Quantitative Risk & Return
- Lecture 3 Value at Risk and Expected Shortfall
- - 2.3.1 金融风险
  - 2.3.2 Value at Risk 在险价值
  - 2.3.3 Expected Shortfall (ES)
  - 2.3.4 估计VaR的方法
  - 2.3.5 VaR实例
  - 2.3.6 回测VaR
  - 2.3.7 资产组合的VaR和ES

Module 2 Quantitative Risk & Return

Lecture 3 Value at Risk and Expected Shortfall

2.3.1 金融风险

风险度量的三个目标

揭示“已知”风险：
让已知风险容易被看到
理解和揭示“未知”风险

一致性(coherent)风险度量指标的特性：

单调性 Monotonicity： Y ≥ X → R ( Y ) ≥ R ( X ) Y \ge X \to R(Y) \ge R(X) Y≥X→R(Y)≥R(X)
次可加性 Subadditivity： R ( X + Y ) ≤ R ( X ) + R ( Y ) R(X + Y) \le R(X) + R(Y) R(X+Y)≤R(X)+R(Y)
正齐次性 Positive Homogeneity： h ≥ 0 → R ( h X ) = h R ( X ) h \ge 0 \to R(hX) = h R(X) h≥0→R(hX)=hR(X)
平移不变性 Translational Invariance： R ( X + n ) = R ( X ) + n R(X + n) = R(X) + n R(X+n)=R(X)+n, n n n是与风险无关的常量

市场风险

市场风险：市场价格变动导致损失的风险

VaR和ES都可以用于度量市场风险

2.3.2 Value at Risk 在险价值

VaR表示给定时间区间（用于监管资本目的的VaR，时间区间通常是10天）和给定置信度水平下，持有资产或资产组合的最大损失

VaR(1天, 99%) = $10m
表示每年(252个交易日)有2~3天的日损失大于$10m，也就是其他时间的损失小于$10m或者盈利

P r ( ϕ ≤ V a R ( X ) − μ σ ) = 1 − c Pr(\phi \le \frac{VaR(X)-\mu}{\sigma}) = 1 - c Pr(ϕ≤σVaR(X)−μ)=1−c

VaR不能回答资产组合在给定时间区间内会损失多少
VaR提供了一种概率表达：关于对资产组合的价值，在给定时间区间内，可能发生多大的变化

VaR和时间区间

市场风险的VaR的时间区间一般用1天
监管部门使用的时间区间是10天
假定日收益相互独立（这种假设实际上并不成立），使用平方根法则，可以在不同时间区间之间转换VaR

2.3.3 Expected Shortfall (ES)

ES描述尾部损失的期望值，跟VaR一样，也是时间区间和置信区间的函数
ES也叫条件VaR、条件尾部期望值、尾部损失的期望值

E S c ( X ) = E [ X ∣ X ≥ V a R c ( X ) ] ES_c(X) = \mathbb{E}[X | X \ge VaR_c(X)] ESc(X)=E[X∣X≥VaRc(X)]

2.3.4 估计VaR的方法

三种方法：

参数法
历史模拟法
蒙特卡洛模拟法

方差协方差分析方法（参数VaR）

Analytic variance covariance approach / delta normal / parametric VaR

这三个术语指的是同一个意思：假设组合价格(风险因子)符合对数正态分布（用均值和方差描述）

V a R ( X ) = μ + Φ − 1 ( 1 − c ) ∗ σ VaR(X) = \mu + \Phi^{-1}(1-c) * \sigma VaR(X)=μ+Φ−1(1−c)∗σ

Φ − 1 ( 1 − c ) \Phi^{-1}(1-c) Φ−1(1−c)表示置信度 c c c对应的分位点

历史模拟法

历史模拟法不需要事先假设分布，但是需要2~3年的数据。

搜集过去500天（两年）的风险因子变化
对风险因子的日变化进行（从小到大）排序，根据VaR的置信度，得到左尾分位点和分位点处的变化量，就是VaR值

历史模拟法的优点：

无参，不依赖于任何假设
估计波动性和相关性也是无参的
不需要考虑肥尾问题，因为历史回报已经同步反映了所有风险因子在市场中的变化

缺点：

依赖特定的数据集
隐含假设：历史数据中包含的过往信息，会反映未来（这里要表达的是过去不代表未来，例如过去十年没有发生经济危机，不代表现在也不会发生）

蒙特卡洛模拟法

模拟随机过程生成多条路径（10000条），每条路径中资产组合都有一个价格，这些价格呈现某个分布。

2.3.5 VaR实例

单个资产的VaR

头寸：$100,000
日收益的标准差 σ \sigma σ：2.21%
99%置信度：2.33倍标准差

V a r ( 1 天 , 99 % ) = 2.21 % × 2.33 × 100 , 000 = 5 , 149 Var(1天, 99\%) = 2.21\% \times 2.33 \times 100,000 = 5,149 Var(1天,99%)=2.21%×2.33×100,000=5,149
V a r ( 10 天 , 99 % ) = 2.21 % × 10 × 2.33 × 100 , 000 = 16 , 284 Var(10天, 99\%) = 2.21\% \times \sqrt{10} \times 2.33 \times 100,000 = 16,284 Var(10天,99%)=2.21%×10 ×2.33×100,000=16,284
这里假设日汇报的相关系数为0

缺陷：

过去不总是能很好的指导未来
有可能不能覆盖异常的市场条件（长期资本和雷曼的违约）
有些市场风险不能被VaR简单表达
- 非线性payoff，例如期权
- Managed rates
- Relative value risks e.g. basis, correlation

单个资产的ES

参数法假定资产价格符合对数正态分布，资产收益符合正态分布

E S = μ + σ e − Y 2 / 2 2 π ( 1 − X ) ES = \mu + \sigma \frac{e^{-Y^2/2}}{\sqrt{2 \pi} (1 - X) } ES=μ+σ2π (1−X)e−Y2/2

2.3.6 回测VaR

目的：

监管要求（Basel的交通灯：对应不同的监管资本惩罚系数）
比较VaR和实际收益
更严格的方法是比较VaR和假想的损益
- 假定次日保持当前头寸

2.3.7 资产组合的VaR和ES

收益的期望值
μ ⃗ = ( μ 1 ⋮ μ i ⋮ μ n ) \vec{\mu} = \left( \begin{matrix} \mu _1 \\ \vdots \\ \mu _i \\ \vdots \\ \mu _n \\ \end{matrix} \right) μ =⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛μ1⋮μi⋮μn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

资产权重 x ⃗ = ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) \vec{x} = \left( \begin{matrix} x _1 \\ \vdots \\ x _i \\ \vdots \\ x _n \\ \end{matrix} \right) x =⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1⋮xi⋮xn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

组合收益的期望值
μ ( x ⃗ ) = E [ R ⃗ ( x ⃗ ) ] = E [ x ⃗ T R ⃗ ] = x ⃗ T E [ R ⃗ ] = x ⃗ T μ ⃗ \mu(\vec{x}) = \mathbb{E}[\vec{R}(\vec{x})] = \mathbb{E}[\vec{x}^T \vec{R}] = \vec{x}^T \mathbb{E}[\vec{R}] = \vec{x}^T \vec{\mu} μ(x )=E[R (x )]=E[x TR ]=x TE[R ]=x Tμ

组合收益的方差
σ 2 ( x ⃗ ) = E [ ( R ⃗ ( x ⃗ ) − μ ⃗ ) ( R ⃗ ( x ⃗ ) − μ ⃗ ( x ⃗ ) T ] = E [ ( x ⃗ T R ⃗ − x ⃗ T μ ⃗ ) ( x ⃗ T R ⃗ − x ⃗ T μ ⃗ ) T ] = E [ x ⃗ T ( R ⃗ − μ ⃗ ) ( R ⃗ − μ ⃗ ) T x ⃗ ] = x ⃗ T E [ ( R ⃗ − μ ⃗ ) ( R ⃗ − μ ⃗ ) T ] x ⃗ = x ⃗ T Σ x ⃗ \begin{aligned} \sigma^2(\vec{x}) &= \mathbb{E}[ (\vec{R}(\vec{x}) - \vec{\mu}) (\vec{R}(\vec{x}) - \vec{\mu}(\vec{x})^T] \\ &= \mathbb{E}[ (\vec{x}^T \vec{R} - \vec{x}^T \vec{\mu}) (\vec{x}^T \vec{R} - \vec{x}^T \vec{\mu})^T] \\ &= \mathbb{E}[ \vec{x}^T (\vec{R} - \vec{\mu}) (\vec{R} - \vec{\mu})^T \vec{x}] \\ &= \vec{x}^T \mathbb{E}[ (\vec{R} - \vec{\mu}) (\vec{R} - \vec{\mu})^T ] \vec{x} \\ &= \vec{x}^T \Sigma \vec{x} \\ \end{aligned} σ2(x )=E[(R (x )−μ )(R (x )−μ (x )T]=E[(x TR −x Tμ )(x TR −x Tμ )T]=E[x T(R −μ )(R −μ )Tx ]=x TE[(R −μ )(R −μ )T]x =x TΣx

期望代表收益，方差代表风险，收益-风险问题变为求解优化问题（找到权重 x ⃗ \vec{x} x ）：

期望一定时，最小化方差
方差一定时，最大化期望

组合风险度量

损失 L ( x ⃗ ) = − R ( x ⃗ ) L(\vec{x}) = -R(\vec{x}) L(x )=−R(x )
损失的期望 E [ ( L ( x ⃗ ) ] = − μ ( x ⃗ ) \mathbb{E}[(L(\vec{x})] = - \mu(\vec{x}) E[(L(x )]=−μ(x )
损失的波动性 σ ( L ( x ⃗ ) ) = σ ( x ⃗ ) \sigma(L(\vec{x})) = \sigma(\vec{x}) σ(L(x ))=σ(x )

基于标准差的风险度量
R ( x ⃗ ) = S D c ( x ⃗ ) = E [ ( L ( x ⃗ ) ] + c . σ ( L ( x ⃗ ) ) = − μ ( x ⃗ ) + c . σ ( x ⃗ ) \mathcal{R}(\vec{x}) = SD_c(\vec{x}) = \mathbb{E}[(L(\vec{x})] + c.\sigma(L(\vec{x})) = -\mu(\vec{x}) + c. \sigma(\vec{x}) R(x )=SDc(x )=E[(L(x )]+c.σ(L(x ))=−μ(x )+c.σ(x )

VaR
R ( x ⃗ ) = V a R α ( x ⃗ ) = i n f { l : P r { L ( x ⃗ ) ≤ ( l ) } ≥ α } \mathcal{R}(\vec{x}) = VaR_{\alpha} (\vec{x}) = inf \{ \mathcal{l} : Pr\{L(\vec{x}) \le \mathcal(l) \} \ge \alpha \} R(x )=VaRα(x )=inf{l:Pr{L(x )≤(l)}≥α}

ES
R ( x ⃗ ) = E S α ( x ⃗ ) = 1 1 − α ∫ α 1 V a R u ( x ⃗ ) d u \mathcal{R}(\vec{x}) = ES_{\alpha} (\vec{x}) = \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} VaR_u (\vec{x}) du R(x )=ESα(x )=1−α1∫α1VaRu(x )du

ES的条件VaR表达形式
E S α ( x ⃗ ) = E [ L ( x ⃗ ) ∣ L ( x ⃗ ) ≥ V a R α ( x ⃗ ) ] ES_{\alpha}(\vec{x}) = \mathbb{E}[L(\vec{x}) | L(\vec{x}) \ge VaR_{\alpha} (\vec{x})] ESα(x )=E[L(x )∣L(x )≥VaRα(x )]

假设收益符合正态分布： R ∼ N ( μ , Σ ) R \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma) R∼N(μ,Σ)，
代入 μ ( x ⃗ ) = x ⃗ T μ ⃗ \mu(\vec{x}) = \vec{x}^T \vec{\mu} μ(x )=x Tμ 和 σ 2 ( x ⃗ ) = x ⃗ T Σ x ⃗ \sigma^2(\vec{x})= \vec{x}^T \Sigma \vec{x} σ2(x )=x TΣx
S D c ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + c . x ⃗ T Σ x ⃗ SD_c(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + c.\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}} SDc(x )=−x Tμ +c.x TΣx

对于VaR, P r { L ( x ⃗ ) ≤ V a R α ( x ⃗ ) } = α Pr\{ L(\vec{x}) \le VaR_{\alpha}(\vec{x}) \} = \alpha Pr{L(x )≤VaRα(x )}=α
由于 L ( x ⃗ ) = − R ( x ⃗ ) L(\vec{x}) = -R(\vec{x}) L(x )=−R(x )，得到
P r { R ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ ≤ − V a R α ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ } Pr\{\frac{R(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} \le \frac{-VaR_{\alpha}(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} \} Pr{x TΣx R(x )−x Tμ )≤x TΣx −VaRα(x )−x Tμ )}

− V a R α ( x ⃗ ) − x ⃗ T μ ⃗ ) x ⃗ T Σ x ⃗ = Φ − 1 ( 1 − α ) \frac{-VaR_{\alpha}(\vec{x}) - \vec{x}^T \vec{\mu})}{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}} = \Phi^{-1}(1-\alpha) x TΣx −VaRα(x )−x Tμ )=Φ−1(1−α)

最后得到
V a R α ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + Φ − 1 ( α ) x ⃗ T Σ x ⃗ VaR_{\alpha}(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + \Phi_{-1}(\alpha) \sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}} VaRα(x )=−x Tμ +Φ−1(α)x TΣx

对VaR求积分得到
E S α ( x ⃗ ) = − x ⃗ T μ ⃗ + x ⃗ T Σ x ⃗ 1 − α ϕ ( Φ − 1 ( α ) ES_{\alpha}(\vec{x}) = -\vec{x}^T \vec{\mu} + \frac{\sqrt{\vec{x}^T \Sigma \vec{x}}}{1-\alpha} \phi(\Phi^{-1}(\alpha) ESα(x )=−x Tμ +1−αx TΣx ϕ(Φ−1(α)