引言

首先介绍图的基本概念，然后介绍两种实现图的方式，最后探讨一些相关算法。

本文相关代码实现涉及到栈和队列的请访问：栈和队列的实现

基本概念

以下基本概念转自数据结构：图概念与基本图实现

图是由顶点VVV集和边EEE集构成，因此图可以表示成G=(V,E)G=(V, E)G=(V,E)。

就是无向图，我们可以说这张图中，有点集V={1,2,3,4,5,6}V=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}V={1,2,3,4,5,6}，边集E={(1,2),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5),(4,6)}E=\{(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 5), (4, 6)\}E={(1,2),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5),(4,6)}。在无向图中，边(u,v)(u, v)(u,v)和边(v,u)(v, u)(v,u)是一样的，因此只要记录一个就行了。也就是说方向是无关的。

有向图也很好理解，就是加上了方向性，顶点(u,v)(u, v)(u,v)之间的关系和顶点(v,u)(v,u)(v,u)之间的关系不同。例如你欠我的钱和我欠你的钱是万万不能混淆的。

加权图：与加权图对应的就是无权图，或叫等权图。如果一张图不含权重信息，我们就认为边与边之间没有差别。不过，具体建模的时候，很多时候都需要有权重，比如对中国重要城市间道路联系的建模，总不能认为从北京去上海和从北京去广州一样远(等权)。

完全图：每一对顶点间都存在一条边的图。

无向图中，任意两个顶点间都有边，称为无向完全图。

两个重要关系：
- 邻接(adjacency)：邻接是两个顶点之间的一种关系。如果图包含(u,v)(u,v)(u,v)，则称顶点vvv与顶点uuu邻接。当然，在无向图中，这也意味着顶点uuu与顶点vvv邻接。
- 关联(incidence)：关联是边和顶点之间的关系。在有向图中，边(u,v)(u,v)(u,v)从顶点uuu开始关联到vvv，或者相反，从vvv关联到uuu。

注意，有向图中，边不一定是对称的，有去无回是完全有可能的。细化这个概念，就有了顶点的入度(in-degree)和出度(out-degree)。无向图中，顶点的度就是与顶点相关联的边的总数，没有入度和出度。在有向图中，我们以上图为例，顶点10有2个入度，3→103\rightarrow103→10，11→1011\rightarrow1011→10，但是没有从10指向其它顶点的边，因此顶点10的出度为0。

路径(path)：依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。注意，依次就意味着有序，先1后2和先2后1不一样。
简单路径：没有重复顶点的路径称为简单路径。说白了，这一趟路里没有出现绕了一圈回到同一点的情况，也就是没有环。

环：包含相同的顶点两次或者两次以上。上图中的顶点序列<1,2,4,3,1><1,2,4,3,1><1,2,4,3,1>，1出现了两次，当然还有其它的环，比如<1,4,3,1><1,4,3,1><1,4,3,1>。
无环图：没有环的图，其中，有向无环图有特殊的名称，叫做DAG(Directed Acyline Graph)（最好记住，DAG具有一些很好性质，比如很多动态规划的问题都可以转化成DAG中的最长路径、最短路径或者路径计数的问题）。

连通的：无向图中每一对不同的顶点之间都有路径。如果这个条件在有向图里也成立，那么就是强连通的。下图中的图不是连通的，因为看到aaa和ddd之间没有通路。

连通分量：极大连通子图称为连通分量。(不连通的图是由2个或者2个以上的连通子图组成的。这些不相交的连通子图称为图的连通分量。)

比如下图中有三个连通分量

有向图的连通分量：如果某个有向图不是强连通的，而将它的方向忽略后，任何两个顶点之间总是存在路径，则该有向图是弱连通的。若有向图的子图是强连通的，且不包含在更大的连通子图中，则可以称为有向图的强连通分量。
下图中，aaa、eee没有到{b,c,d}\{b,c,d\}{b,c,d}中的顶点的路径，所以各自是独立的连通分量。因此，图中有三个强连通分量，用集合写出来就是：{{a},{e},{b,c,d}}\{\{a\}, \{e\}, \{b, c, d\}\}{{a},{e},{b,c,d}}（已经用不同颜色标出）。

关节点(割点)：某些特定的顶点对于保持图或连通分支的连通性有特殊的重要意义。如果移除某个顶点将使图或者分支失去连通性，则称该顶点为关节点。如下图中的ccc。

关节点的重要性不言而喻。如果你想要破坏互联网，你就应该找到它的关节点。同样，要防范敌人的攻击，首要保护的也应该是关节点。在资源总量有限的前提下，找出关节点并给予特别保障，是提高系统整体稳定性和鲁棒性的基本策略。
桥(割边)：和关节点类似，删除一条边，就产生比原图更多的连通分支的子图，这条边就称为割边或者桥。

实现方式

常见的实现方式有两种

邻接矩阵

假定图中顶点数为v,邻接矩阵通过长、宽都为v的二维数组实现，若稀疏图(图中边的数目较少)通过邻接矩阵，会浪费很多内存空间。

邻接链表

通过代码实现时，我们进行一个优化，不使用链表这种数据结构，而是用集合（不会存在相同元素）。这种实现方式也可以叫做邻接集。

无向图的邻接链表实现见：无向图的邻接集实现

有向图的邻接链表实现见：有向图的邻接集实现

数据结构——图的概述

引言

基本概念

实现方式

邻接矩阵

邻接链表

相关算法

无向图

有向图

最小生成树

最短路径

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