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0.基本介绍

黑塞矩阵（Hessian Matrix），是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

所以Hessian matrix实际上就是多变量情形下的二阶导数，他描述了各方向上灰度梯度变化，这句话应该很好理解了吧。我们在使用对应点的hessian矩阵求取的特征向量以及对应的特征值，较大特征值所对应的特征向量是垂直于直线的，较小特征值对应的特征向量是沿着直线方向的。对于SIFT算法中的边缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。

1.Hessian矩阵的数学由来

对f(x,y)在点p(x_{0},y_{0})进行泰勒级数展开，设二元函数f(x,y)在点P(x_{0},y_{0})的邻域内具有二阶连续偏导数，点P属于U(P_{0})，使得:

这是带有佩亚诺余项的二元函数的泰勒级数展开，因此，二阶项可表示为：

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