数学基础task08 二重积分

二重积分概念

一元函数积分是数轴一个区间。

多元函数的积分把积分范围推广值平面和空间的一个区域，以及平面和空间中的曲线和曲面。

函数积分思想为：分割，近似，求和，取极限。

设f(x,y)f(x,y)f(x,y)是有界闭区域DDD上的有界函数，将闭区域DDD任意分成nnn个小型闭区域Δδ1,Δδ2.。。。Δδn\Delta\delta_1,\Delta\delta_2.。。。\Delta\delta_nΔδ1,Δδ2.。。。Δδn，其中Δδi\Delta\delta_iΔδi表示第iii个小闭区域，也表示它的面积，在每个Δδi\Delta\delta_iΔδi上任取一点(ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i)(ξi,ηi),先做乘积再做求和。∑i=1nf(ξi,ηi)Δδi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\delta_ii=1∑nf(ξi,ηi)Δδi

∫∫f(x,y)dδ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δδi\int\int f(x,y)d\delta=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\delta_i∫∫f(x,y)dδ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δδi

二元积分就是二元函数在平面区域上的积分。

二重积分仍然是被积表达式的和的极限。
积分值与积分区域的分割方法无关。
二元连续函数在有界闭区域上是可积的。

二重积分的性质

对1求二重积分表示该区域面积。（积分的几何意义）
先求函数加减在进行二重积分运算等于先分别进行二重积分计算再进行加减。
函数前面有常系数求二重积分常系数可以拿出来成为积分常系数。
二重积分对积分区域可加，把区域分为两个区域，该区域积分等于这两个区域积分之和。
区域上某函数小于等于另一个函数，那么该区域这函数的二重积分也小于等于另一个函数二重积分。
设M，mM，mM，m分别是f(x,y)f(x,y)f(x,y)在闭区域DDD上的最大值与最小值，δ\deltaδ为DDD的面积，则：

mδ≤∫∫f(x,y)dδ≤Mδm\delta\le\int\int f(x,y)d\delta\le M\deltamδ≤∫∫f(x,y)dδ≤Mδ（估计二重积分的范围）
（二重积分的中值定理）设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DDD上连续，δ\deltaδ为DDD的面积，则在DDD上至少存在一点(ξ,η)(\xi,\eta)(ξ,η)，使得∫∫f(x,y)dδ=f(ξ,η)⋅δ\int\int f(x,y)d\delta=f(\xi,\eta)\cdot\delta∫∫f(x,y)dδ=f(ξ,η)⋅δ

几何意义：曲顶柱体的体积等于某个跟它同底、高位曲顶柱体的某一变高的平定柱体的体积。

二重积分的计算

利用直角坐标计算二重积分

X型区域

Y型区域

注意自己要选择合适的积分次序进行解答！！！

对称性

利用极坐标计算二重积分

二重积分从直角坐标化为极坐标的变换：

∫∫f(x,y)dδ=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ\int\int f(x,y)d\delta=\int\int f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta∫∫f(x,y)dδ=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

书籍学习源自：《张宇基础30讲》《张宇考研数学1000题》
视频学习：数学基础–萌弟AI
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