黎曼几何是篡改数学概念的几何

马海飞

爱因斯坦的物理学理论是以黎曼几何作为主要工具建立起来的。也就是说，如果没有黎曼几何，爱因斯坦的理论就无法建立起来。可是，爱因斯坦从来都没认真想过，黎曼几何本身存在的问题。这个问题的根源就在于黎曼对数学概念的篡改。

1、什么是黎曼几何？

在数学领域中的几何学里有三个不同的体系。一个叫做欧氏几何，一个叫做罗氏几何，最后一个就是黎曼几何。黎曼几何就是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在，是另一种全新的非欧几何，这就是如今狭义意义下的黎曼几何，它是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。

举例来说，在欧氏几何中，直线和平面都是平直的。无限延伸。因此两条平行线和两个平行面之间永远不会相交。三角形的三个内角之和永远都是180度。而在黎曼几何中，直线和平面都是指球面上的线和面。因此，黎曼几何中的所谓“直线”和“平面”都是带曲率的。都不可能是无限延伸的。这样一来，在黎曼几何中，没有曲率的直线和平面就再也不存在了。黎曼几何中的三角形的三个内角之和也不再是180度。具体是多少因曲率而异。

2、黎曼是怎样篡改数学概念的？

本来，在数学概念中，直线指的是不存在曲率的线。任何存在曲率的线都是曲线。平面也是如此。平面指的是不存在曲率的面。任何存在曲率的面都是曲面。所以说，黎曼几何中说的直线和平面实际上都不是数学概念中所说的直线和平面，而是对数学直线和平面概念的篡改。属于移花接木和张冠李戴。这样的篡改导致了一系列问题的出现。例如，三角形的正确定义应该是:由三条(直线)线段顺次首尾相连所组成的一个闭合的平面图形，是最基本和最少边的多边形。而黎曼几何中的三角形并不是平面图形。构成三角形的三条线也都不是真正的直线。很明显，黎曼几何中的三角形完全不符合三角形的数学定义。

黎曼几何把不是直线的线当作直线使用，把不是平面的面当成平面使用，把不是三角形的图形当成三角形处理。这无疑是对数学和几何学的巨大干扰。

在欧氏几何学里，直线是一维的，曲线是二维的。平面是二维的，曲面是三维的。所以，用欧氏几何完全有可能对球面作出正确的描述。只不过可能过程比较繁杂而已。

黎曼几何直接把球面当作平面对待，把曲线当成直线对待。这样在事先就把曲率定好了的情况下进行处理可能在运算过程中会简单许多。尽管如此，在客观存在上也还是不应该混淆直线与曲线以及平面与曲面的概念。直线就是直线，曲线就是曲线。平面就是平面，曲面就是平面。黎曼几何把曲线叫做直线，把曲面叫做平面的做法是彻底错误的。

3、黎曼几何对物理学造成的不良影响。

我本人对黎曼几何没有深入研究过。但从基本道理上来看，黎曼几何也属于一种相对论的体系。他把曲线和曲面作为不变的参照物对待。这样，在运算时曲线和曲面就具备了直线和平面的功能。不过需要注意的是，功能与现实不同。尽管它们具备了这些功能，但这些功能并不能改变曲线和曲面弯曲的现实。这种做法在直线和平面的问题上无疑造成了巨大的混乱。以至于在讨论爱因斯坦的相对论时经常会见到这样的事情。维护相对论的人常常会用一种义正词严的态度说：不要忘了，爱因斯坦使用的是黎曼几何。在黎曼几何里的三角形的三个内角之和并不是180度你知道吗？听到这话的人立刻就傻了。仔细一想，在球面上画出来的三角形的三个内角之和的确不是180度。遗憾的是，这些人却没再继续想下去，球面上画出来的三角形符合三角形的数学定义吗？根本就不符合。三角形的三个内角之和是180度是一个永恒的真理。把球面上的三角形叫做三角形是对三角形概念的篡改。因为它不是真正的三角形，当然其内角之和可以不是180度了。

数学和几何学追求的是正确的计算结果。与现实情况无关。例如，在做几何题的时候，我们可以加辅助线。这样可以更容易得到正确结果。而在现实中的图形中根本就没有那条线。同样道理，为了解题方便方便，在几何学里把曲线当成直线，把曲面当成平面都是允许的。

可是，物理学与数学和几何学不同。物理学研究的对象是客观存在。物理学不但要追求计算结果的正确性，而且还要追求物理存在的正确性。如果不把物理学与数学和几何学区别对待的话，就会给物理学带来巨大混乱。

例如，如果把黎曼几何体系当成自然世界对待的话，那么作为经典物理学支柱的牛顿惯性定律中的匀速直线运动就不复存在。时间和空间都变成了弯曲的和相对的。而无数实践活动都证明了经典物理学的三大运动定律和绝对时间和绝对空间都是正确的。或者倒过来说，如果自然世界中的物理现象不遵循牛顿的三大运动定律以及绝对时间和绝对空间规律的话，这个世界早就乱套了。

爱因斯坦在接受黎曼几何的时候犯了一个巨大的错误，那就是他把黎曼几何学中带有曲率的直线和平面当成自然世界里的直线和平面对待了。黎曼几何把曲面当成平面对待。以曲面为参考平面，让其他参数发生相应变化。爱因斯坦的相对论则把可以改变的光速当成直线对待，然后把其他物理量(例如时间和空间)当成变量对待。

在物理世界里，直线是两点之间的最近距离。这个距离是长度距离，并不是速度(时间)决定的距离。由于爱因斯坦把光速当成不变的直线，借助黎曼几何篡改了直线距离的定义，把时间距离变成了两点之间的距离。用这个距离来取代物理上的长度距离。于是就得出了“线的长短与速度相关”的伪结论。这样，原本是一条弯曲的线就变成了最短的“短程线”。而短程线本来的定义是两点之间最短的线。三绕两绕就让人找不到北了。实际上，从几何学上来说，对一条弯曲的线来说，它的两端之间的最短距离应该是这两个端点的直线连线。从图形上来说，最短的线是弓弦线，而曲线是弓背。可是，在爱因斯坦的理论中，由于他把光速规定为永远不变，结果弓背线反倒成了最短的短程线了。同时，时空也变成弯曲的了。

本来，光线在经过巨大天体附近的时候发生弯折现象的原因是因为光速减慢造成的。距离天体越近的地方光速越慢，因此就出现了光线朝向天体方向弯折的现象。这与什么短程线毫不相干。可是，由于爱因斯坦规定光速不变，就只好把弯折的光线走过的途径说成是短程线了。结果短程线就变成弯曲的了。时空也变成弯曲的了。并且，用黎曼几何可以进行计算。把一个本来平直的绝对三维空间和绝对一维时间的自然世界变成了相对的弯曲时空的神话世界。

我讨论这些问题的目的并不是想要否定黎曼几何。而是要指出：物理学与数学和几何不一样。自然世界并不复杂。没有什么弯曲时空，也没有可以膨胀的时间和收缩的空间。时间和空间都是绝对的，平直的。而光速才是可以改变的。只有在这些前提下研究自然现象得到的结论才有可能是正确的。否则像爱因斯坦那样把几何学中篡改的概念拿到自然世界中作为物理学问题研究，得到的结果只能是混乱不堪。看来学会如何正确使用数学工具应该是理论物理学家们需要补修的一门课。