课 程 教 学 大 纲

(理论课)

课 程 名 称： 泛函分析

适 用 专 业： 数学与应用数学

课 程 类 别： 学科知识深化课程

制 订 时 间： 2006年8月

数学与计算机科学学院 制

《泛函分析》课程教学大纲

(2000年制订，2006年修订)

一、课程代码：0501142005

二、课程类别：专业选修课

三、预修课程：数学分析、高等代数、实变函数等

四、学　 分： 3学分

五、学 时： 54学时

六、课程概述：

泛函分析课程是数学与应用数学专业的专业选修课。《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，在古典分析、线性代数、线性微分方程、积分方程、变分学、逼近论等的发展基础上逐渐形成。它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支。其内容已渗透到逼近论、偏微分方程、概率论、最优化理论等各方面。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。工程技术等领域有很大帮助。

七、教学目的：

通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。

八、学时分配表

教学内容(章)理论学时实验学时习题课其它备注第六章 度量空间和线性赋范空间14第七章 线性有界算子和线性连续泛函8第八章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间14第九章 巴拿赫空间中的基本定理14第十章 线性算子的谱4简介九、教学基本内容：

第六章 度量空间和线性赋范空间(14学时)

教学要求：

认识并熟记度量空间的特殊例子；领会与应用度量空间的极限,稠密集,可分空间、连续影射、柯西点列和完备度量空间等知识；理解度量空间的完备化问题；理解并应用压缩映射原理；掌握线性空间、线性赋范空间和Banach空间等基本理论。

本章教学要点主要有：

1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射

2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X

3 有理点集是可数稠密集

4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间。

教学内容：

一、度量空间的进一步例子

认识并熟记度量空间的特殊例子。

二、度量空间中的极限、稠密集,可分空间

领会与应用度量空间的极限,稠密集,可分空间等基本知识。

三、连续映照

理解并熟练应用连续映照知识。

四、柯西点列和完备度量空间

熟练应用柯西点列和完备度量空间理论。

五、度量空间的完备化

理解度量空间的完备化问题。

六、压缩映射原理及其应用

理解并应用压缩映射原理

七、线性空间

掌握线性空间的概念和相关重要结论。

八、线性赋范空间和巴拿赫空间

掌握线性赋范空间和Banach空间等基本理论及其相关重要结论。

第七章 有界线性算子和连续线性泛函(8学时)

教学要求：

领会、熟练掌握线性有界算子和线性连续泛函、线性有界算子空间和共轭空间等基本理论，并能应用这些知识；领会广义函数的大意。

本章教学要点主要有：

1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念

2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间

3 掌握线性同构的概念

教学内容：

一、线性有界算子和线性连续泛函

领会、熟练掌握并能灵活应用线性有界算子和线性连续泛函等基本知识。

二、线性算子空间和共轭空间

领会、熟练掌握并能灵活应用线性有界算子空间和共轭空间等基本理论知识。

三、广义函数大意

领会广义函数的大意。

第八章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间(14学时)

教学要求：

认识并熟记内积空间的基本概念，并能应用基本知识；掌握投影定理及其应用；领会、应用Hilbert空间中的规范正交系和Hilbert空间上的连续线性泛函；认识并熟记自伴算子,酉算子和正常算子等基本概念并能应用。

本章教学要点主要有：

1 掌握内积与希尔伯特空间中的范数之间的关系

2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系

3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系

教学内容：

一、内