1. 舒尔补的定义

设一个(p+q)×(p+q)(p+q)\times (p+q)(p+q)×(p+q)维的矩阵MMM被分成4个部分：
M=[ABCD]M= \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] M=[ACBD]
其中AAA是p×pp\times pp×p矩阵，DDD是q×qq\times qq×q矩阵，BBB和CCC取适配的维数。
1）当DDD可逆时，DDD在MMM中的舒尔补存在，且为：
A−BD−1CA-BD^{-1}CA−BD−1C
2）当AAA可逆时，AAA在MMM中的舒尔补存在，且为：
D−CA−1BD-CA^{-1}BD−CA−1B

2. 为什么是这个形式

虽然看起来很莫名，但舒尔补其实是对MMM进行初等变换之后，得到的矩阵里的一个分块。例如，下面的这个转换矩阵
L=[Ip0−D−1CD−1]L= \left[ \begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix} \right] L=[Ip−D−1C0D−1]
可以把MMM变成
ML=[ABCD][Ip0−D−1CD−1]=[A−BD−1CBD−10Iq]ML= \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix} \right] ML=[ACBD][Ip−D−1C0D−1]=[A−BD−1C0BD−1Iq]
这个MLMLML左上角的分块就是DDD的舒尔补了。
对AAA来说，也有类似的变换。

3. 舒尔补有什么用

3.1 它可以用来判断矩阵MMM的可逆性

如果已知MMM（那么A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D都是已知的）并且AAA可逆，那么A−1A^{-1}A−1存在，可以对MMM进行下面的行列变换：
[I0−CA−1I][ABCD][I−A−1B0I]=[A00D−CA−1B]\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right] [I−CA−10I][ACBD][I0−A−1BI]=[A00D−CA−1B]
由于MMM左右乘的都是对角线为1的矩阵，因此对上式左右两边取行列式，可以得到：
∣ABCD∣=∣A00D−CA−1B∣=∣A∣⋅∣D−CA−1B∣\left| \begin{array}{cccc} A & B \\ C & D \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cccc} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{array} \right|= |A|\cdot|D-CA^{-1}B| ∣∣∣∣ACBD∣∣∣∣=∣∣∣∣A00D−CA−1B∣∣∣∣=∣A∣⋅∣D−CA−1B∣
由于已知AAA可逆，上面的式子说明MMM和D−CA−1BD-CA^{-1}BD−CA−1B的可逆性是相同的。即：如果D−CA−1BD-CA^{-1}BD−CA−1B可逆，那么可以判断MMM是可逆的。
同理，如果DDD可逆，那么MMM和A−BD−1CA-BD^{-1}CA−BD−1C的可逆性是相同的。即：如果A−BD−1CA-BD^{-1}CA−BD−1C可逆，那么可以判断MMM是可逆的。

3.2 MMM可逆时，它还能求出这个逆矩阵

根据3.1可以知道，如果DDD可逆，那么MMM和A−BD−1CA-BD^{-1}CA−BD−1C的可逆性是相同的，具体地，M−1M^{-1}M−1可以表示为：
[ABCD]−1=[I0−D−1CD−1][(A−BD−1C)−100I][I−BD−10I]=[(A−BD−1C)−1−(A−BD−1C)−1BD−1−D−1C(A−BD−1C)−1D−1+D−1C(A−BD−1C)−1BD−1]\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]^{-1}= \left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix} \right]\\ =\left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & -(A-BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1} \\ -D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1} & D^{-1}+D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1} \end{matrix} \right] [ACBD]−1=[I−D−1C0D−1][(A−BD−1C)−100I][I0−BD−1I]=[(A−BD−1C)−1−D−1C(A−BD−1C)−1−(A−BD−1C)−1BD−1D−1+D−1C(A−BD−1C)−1BD−1]
取一个特殊情况，例如p=q=1p=q=1p=q=1时，可以得到
M−1=1AD−BC[D−B−CA]M^{-1}=\frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix} \right]M−1=AD−BC1[D−C−BA]
这就是二阶矩阵的逆矩阵，与我们用伴随矩阵求出来的形式是相符的。

3.3 在求解矩阵方程组时，可以用来降低计算复杂度

如果我们要求解由两个矩阵方程组成的矩阵方程组，例如：
Ax+By=a(1)Cx+Dy=b(2)Ax+By=a(1)\\ Cx+Dy=b(2)Ax+By=a(1)Cx+Dy=b(2)
我们可以对两个方程增广来求解，即求解
[ABCD][xy]=[ab]\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right][ACBD][xy]=[ab]
但增广后的阶数就增大了，计算复杂度更大。
利用舒尔补，如果DDD可逆，那么对式(2)左乘BD−1BD^{-1}BD−1就可以得到：
BD−1Cx+By=BD−1b(3)BD^{-1}Cx+By=BD^{-1}b(3)BD−1Cx+By=BD−1b(3)
由(1)-(3)得：
(A−BD−1C)x=a−BD−1b(A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b(A−BD−1C)x=a−BD−1b
因此可以解出
x=(A−BD−1C)−1(a−BD−1b)x=(A-BD^{-1}C)^{-1}(a-BD^{-1}b)x=(A−BD−1C)−1(a−BD−1b)
代入(2)可以进一步解出yyy。由于xxx和yyy的表达式的阶数都和原来单个方程的阶数相等，因此复杂度比第一种方法低。

参考资料

[1] 舒尔补/schur补
[2] 俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京:清华大学出版社, 2002.
[3] 关于矩阵的Schur补

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