1.块矩阵（Block Matrix）、舒尔补（Schur complement）

1.1 块矩阵

作用：来自百度百科

可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算
同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤

将 4×6矩阵分成 2×3块矩阵，每个块矩阵为 2×2

块矩阵乘法

1.2 分块消元

与一般矩阵消元类似

[ABCD]\left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right] [ACBD]
消元C
Multiplierl21=a21a11=CAMultiplier\ l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{C}{A} Multiplier l21=a11a21=AC

newrow2=row2−l21row1new\ row2 = row2 - l_{21}row1new row2=row2−l21row1
C−CAAD−CABC-\frac{C}{A}A\\ ~\\ D-\frac{C}{A}B C−ACA D−ACB

将矩阵化为了上三角矩阵

在求解线性方程组时，可以利用舒尔补直接求解

[ABCD][xy]=[ab][AB0D−CA−1B][xy]=[ab−CA−1a]\left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right] \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\ ~\\ \left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline 0& D-CA^{-1}B \end{array} \right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\\ b-CA^{-1}a \end{bmatrix} [ACBD][xy]=[ab] [A0BD−CA−1B][xy]=[ab−CA−1a]

(D−CA−1B)y=b−CA−1a(D-CA^{-1}B)y=b-CA^{-1}a (D−CA−1B)y=b−CA−1a

[ABCD]\left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right] [ACBD]
消元B
Multiplierl12=a12a22=BDMultiplier\ l_{12}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=\frac{B}{D} Multiplier l12=a22a12=DB

newrow1=row1−l12row2new\ row1 = row1 - l_{12}row2new row1=row1−l12row2
A−BDCB−BDDA-\frac{B}{D}C\\ ~\\ B-\frac{B}{D}D A−DBC B−DBD

[IBD−10I][ABCD]=[A−BD−1C0CD]\left[ \begin{array}{c|c} I & BD^{-1}\\ \hline 0 & I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c|c} A-BD^{-1}C& 0 \\ \hline C& D \end{array} \right] [I0BD−1I][ACBD]=[A−BD−1CC0D]
将矩阵化为了下三角矩阵

在求解线性方程组时，可以利用舒尔补直接求解

[ABCD][xy]=[ab][A−BD−1C0CD][xy]=[a−BD−1bb]\left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right] \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\ ~\\ \left[ \begin{array}{c|c} A-BD^{-1}C& 0 \\ \hline C & D \end{array} \right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-BD^{-1}b\\ b \end{bmatrix} [ACBD][xy]=[ab] [A−BD−1CC0D][xy]=[a−BD−1bb]

(A−BD−1C)x=a−BD−1b(A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b (A−BD−1C)x=a−BD−1b

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