【JZOJ4939】平均值题解

题目大意

给定一个长度为 nnn 的序列 a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an，求所有区间的 mexmexmex 平均值之和，即
∑l=1n∑r=lnmex(al,al+1,⋯,ar)r−l+1(mod998244353)\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^n \frac{mex(a_l,a_{l+1},\cdots,a_r)}{r-l+1} \pmod{998244353} l=1∑nr=l∑nr−l+1mex(al,al+1,⋯,ar)(mod998244353)
1≤n≤5×105,0≤ai≤5×1051 \leq n \leq 5 \times 10^5,~~0 \leq a_i \leq 5 \times 10^51≤n≤5×105, 0≤ai≤5×105

\\
\\
\\

题解

这题大概是有两种解法，官方题解是转化成 ∑i=0max⁡{a}∑l≤r[mex(al,⋯,ar)≥i]r−l+1\sum_{i=0}^{\max\{a\}}\sum_{l \leq r} \frac{[mex(a_l,\cdots,a_r) \geq i]}{r-l+1}∑i=0max{a}∑l≤rr−l+1[mex(al,⋯,ar)≥i] 来做，但它比较简略我没搞懂。于是又找到了HOWARLI的做法，我这个就是参考他的。被吊打啦

有一种传统建模是，左端点从右往左移动，用线段树维护右端点的答案。但是在这题，左端点往左移相当于给若干个序列插入一个元素， mexmexmex 怎么变就很难搞了。

但是变通一下，左端点从左往右移，就很好搞了。因为这对于 mexmexmex 来说相当于是区间取 min⁡\minmin 的操作。
当左端点从 i−1i-1i−1 移到 iii，就相当于删去 ai−1a_{i-1}ai−1，假设 i−1i-1i−1 后面的第一个跟 ai−1a_{i-1}ai−1 相同的元素是 anexti−1a_{next_{i-1}}anexti−1，那么删去 ai−1a_{i-1}ai−1 影响到的右端点范围就是 [i,nexti−1)[i,next_{i-1})[i,nexti−1)。在这个范围里所有 mexmexmex 值大于 ai−1a_{i-1}ai−1 的都会变成 ai−1a_{i-1}ai−1。
由于 mexmexmex 是分段递增的，我们在这个范围内找到所有 mexmexmex 值大于 ai−1a_{i-1}ai−1 的段，结算它们的贡献，并更新它们。
假设一个段 [l,r][l,r][l,r]，mexmexmex 值为 mmm。对于里面的一个元素 x(x∈[l,r])x~(x \in [l,r])x (x∈[l,r])，它最早在左端点为 ttt 时把 mexmexmex 值更新为 mmm，那么它要结算的贡献就是 m(1x−t+1+⋯+1x−(i−1)+1)m(\frac{1}{x-t+1}+\cdots+\frac{1}{x-(i-1)+1})m(x−t+11+⋯+x−(i−1)+11)，即 m(sx−t+1−sx−(i−1))m(s_{x-t+1}-s_{x-(i-1)})m(sx−t+1−sx−(i−1))（记 sn=∑i=1n1is_n=\sum_{i=1}^n \frac 1isn=∑i=1ni1）。
于是用线段树维护一下 mexmexmex 的分段、区间 ∑sx−t+1\sum s_{x-t+1}∑sx−t+1 即可。
每次左端点的移动，最多新增 2 个段，删除若干个段，因此段的总量也是 O(n)O(n)O(n) 的。时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=5e5+5;
const LL mo=998244353;struct TR{int minmex,maxmex;LL st;
};int n,a[maxn];LL Pow(LL x,LL y)
{LL re=1;for(; y; y>>=1, x=x*x%mo) if (y&1) re=re*x%mo;return re;
}int ap[maxn],nxt[maxn],init_mex[maxn];
LL s[maxn],ss[maxn];
void Pre()
{fd(i,n,1){nxt[i]=(!ap[a[i]]) ?n+1 :ap[a[i]];ap[a[i]]=i;}memset(ap,0,sizeof(ap));int mex=0;fo(i,1,n){ap[a[i]]=1;while (ap[mex]) mex++;init_mex[i]=mex;}fo(i,1,n) s[i]=(s[i-1]+Pow(i,mo-2))%mo, ss[i]=(ss[i-1]+s[i])%mo;
}TR tr[4*maxn];
pair<int,int> bz[4*maxn];
TR merge(const TR &a,const TR &b)
{return (TR){min(a.minmex,b.minmex),max(a.maxmex,b.maxmex),(a.st+b.st)%mo};
}
void update(int k,int t,int l,int mid,int r)
{if (!bz[k].first) return;tr[t]=(TR){bz[k].second,bz[k].second,(ss[mid-bz[k].first+1]-ss[l-bz[k].first]+mo)%mo};tr[t+1]=(TR){bz[k].second,bz[k].second,(ss[r-bz[k].first+1]-ss[mid+1-bz[k].first]+mo)%mo};bz[t]=bz[t+1]=bz[k];bz[k]=make_pair(0,0);
}
void tr_js(int k,int l,int r)
{if (l==r){tr[k]=(TR){init_mex[r],init_mex[r],s[r]};return;}int t=k<<1, mid=(l+r)>>1;tr_js(t,l,mid), tr_js(t+1,mid+1,r);tr[k]=merge(tr[t],tr[t+1]);
}
pair<int,int> cx_bs(int k,int l,int r,int x,int z)
{if (l==r) return (tr[k].maxmex>z) ?make_pair(l,tr[k].maxmex) :make_pair(-1,-1) ;int t=k<<1, mid=(l+r)>>1;update(k,t,l,mid,r);return (x<=mid && tr[t].maxmex>z) ?cx_bs(t,l,mid,x,z) :cx_bs(t+1,mid+1,r,x,z);
}
int cx_r(int k,int l,int r,int x,int z)
{if (l==r) return l;int t=k<<1, mid=(l+r)>>1;update(k,t,l,mid,r);return (x<=mid && tr[t+1].minmex>z) ?cx_r(t,l,mid,x,z) :cx_r(t+1,mid+1,r,x,z);
}
LL cx_st(int k,int l,int r,int x,int y)
{if (x<=l && r<=y) return tr[k].st;int t=k<<1, mid=(l+r)>>1;update(k,t,l,mid,r);LL re=0;if (x<=mid) re=cx_st(t,l,mid,x,y);if (mid<y) (re+=cx_st(t+1,mid+1,r,x,y))%=mo;return re;
}
void tr_xg(int k,int l,int r,int x,int y,pair<int,int> z)
{if (x<=l && r<=y){tr[k]=(TR){z.second,z.second,(ss[r-z.first+1]-ss[l-z.first]+mo)%mo};bz[k]=z;return;}int t=k<<1, mid=(l+r)>>1;update(k,t,l,mid,r);if (x<=mid) tr_xg(t,l,mid,x,y,z);if (mid<y) tr_xg(t+1,mid+1,r,x,y,z);tr[k]=merge(tr[t],tr[t+1]);
}int main()
{freopen("average.in","r",stdin);freopen("average.out","w",stdout);scanf("%d",&n);fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);Pre();tr_js(1,1,n);LL ans=0;fo(i,1,n){if (i>1){for(int l=i, r; l<nxt[i-1]; l=r+1){pair<int,int> t=cx_bs(1,1,n,l,a[i-1]);l=t.first;if (l==-1 || l>=nxt[i-1]) break;r=min(cx_r(1,1,n,l,t.second),nxt[i-1]-1);(ans+=(cx_st(1,1,n,l,r)-ss[r-(i-1)]+mo+ss[l-(i-1)-1])%mo*t.second)%=mo;tr_xg(1,1,n,l,r,make_pair(i,a[i-1]));}}(ans+=cx_st(1,1,n,i,i)*(a[i]==0))%=mo;}printf("%lld\n",ans);
}