信号的平均功率与均方值

信号的平均功率与均方值
物理上我们知道平均功率=P=v2(t)‾RP = \frac{{\overline {{v^2}(t)} }}{R}P=Rv2(t) 或P=i2(t)‾∙RP = \overline {{i^2}(t)} \bullet RP=i2(t)∙R
为了单独讨论信号本身产生的作用，人们引入归一化功率概念，即R=1欧姆
所以，任意信号的x（t）的平均功率定义为：
P=x2(t)‾=lim⁡T−>∞12T∫−TTx2(t)P = \overline {{x^2}(t)} = \mathop {\lim }\limits_{T - > \infty } \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {{x^2}(t)}P=x2(t)=T−>∞lim2T1∫−TTx2(t) （1）
对能量信号，肯定是在整个时间范围内积分，所以有总能量等于：
E=lim⁡T−>∞∫−TTx2(t)=∫∞∞x2(t)E = \mathop {\lim }\limits_{T - > \infty } \int_{ - T}^T {{x^2}(t)} = \int_\infty ^\infty {{x^2}(t)}E=T−>∞lim∫−TTx2(t)=∫∞∞x2(t)
接下来说说均值
对连续变量，有E(x(t))=∫x(t)f(x,t)dxE(x(t)) = \int {x(t)f(x,t)dx}E(x(t))=∫x(t)f(x,t)dx
对离散变量，E(x(t))=1N∑i=0Nx2(t)E(x(t)) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 0}^N {{x^2}(t)}E(x(t))=N1i=0∑Nx2(t) （2）
若讲（1）式换为离散的形式，正好和（2）式一样，其中分母中的2T与N是一样的。
所以我们通常把随机信号的均方值称为平均功率。论文中常出现的这个约束就理解了。

信号的协方差矩阵Q=E(xxHx{x^H}xxH)
所以总功率P=xHx=tr(xxH)=tr(Q){x^H}x = tr(x{x^H}) = tr(Q)xHx=tr(xxH)=tr(Q)

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