电源控制环稳定性基础理论与调试方法

说明：本文参考文档为机械工业出版社《自控理论第二版》、国防工业出版社《自动控制原理第二版》、台湾全华科技图书股份有限公司《交换式电源供给器之理论与务实设计》，蓝色字体为直接或间接引用。能力有限，文中不明不正之处，还请给予指正。

一、Nyquist稳定判据

开环与闭环

建立开环与闭环传函的概念：

G（s）：前向通路，包含了发波电路输出到模块输出滤波电路。需要说明的是这一环节中的发波电路、驱动电路、开关管回路对于交流信号不具备增益变化与移相变化特征，而主变、输出滤波电路等会对交流信号的传递有一定影响（幅值和相位）。

H（s）：反馈通路，包含了分压、补偿、误差生成等电路。（这里误差生成包含发波芯片内已固化的误差生成电路）。反馈通路也是实际环路优化的“主战场”。

针对上图所示之控制系统，其闭环传函：，开环传函：

当开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（极点）在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。因为系统稳定性由闭环极点唯一确定，系统稳态性能和动态性能又与闭环零极点在s平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零极点如何变化才能满足闭环系统的性能指标要求。

两函数间有以下关系：

闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹增益；对于单位反馈系统（H（s）＝1），闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益。
闭环零点由开环前向通路传函的零点和反馈通路传函的极点组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零点、开环极点以及开环系统根轨迹增益均有关。

奈式判据

Nyquist稳定性研究针对的是辅助函数零极点的分布特征，辅助函数，经过推导得出，有如下3个特点：1、辅助函数的零点和极点分别就是闭环极点和开环极点，2、其零极点个数相同，3、F（s）和开环传函只差一个常数1。

依照幅角原理推导出Nyquist稳定判据，幅角原理：在s平面上任选一点s，通过F（s）的映射关系在F（s）平面上可以找到相应的象，若在F（s）的零极点分布图上选择A，使s从A出发绕F（s）的某零点顺时针延封闭曲线（该曲线不包围也不通过任何极点和其它零点）转一圈回到A点。相应的F（s）则从F（s）平面上B出发且回到B，也描出一条封闭曲线.封闭曲线内有Z个F（s）零点、P个F（s）极点，s沿着顺时针转一圈时，在F（s）平面上，F（s）曲线绕其原点逆时针转过的圈数R 为P 和Z之差，R=P-Z。R为负，则为顺时针。

取整个含虚轴的右半s平面，则P、Z即意味着右半s平面零极点。结合，F（s）逆时针绕原点转一圈即G（s）H（s）绕（-1，j0）逆时针转一圈。

通过闭环传函对于单位脉冲的响应可以发现，只有系统的特征根全部具有负实部时，也就是闭环传函的极点均严格位于左半s平面，脉冲响应随时间推移趋于零。系统能够回到原来的平衡状态。

由此可以得出针对开环传函判断闭环系统稳定性的奈式判据：

由于闭环系统稳定性的充要条件是无右半s平面极点，（也就是辅助函数F（s）的零点Z）故Z=0，由R=P-Z可知，此时开环传函的幅相曲线逆时针包围临界点的圈数R应等于右半s平面的P。也就是说，对于稳定闭环系统幅相曲线逆时针包围临界点的圈数等于右半s平面P，系统稳定。当P=0时也就是不能逆时针包围临界点。

实际的系统在测试开环频响曲线较为容易，辅助函数和幅角定理的引入正好搭起了从开环传函推断闭环系统稳定性的桥梁，这也就是为何闭环系统稳定性的分析基本上都依赖于奈式判据的原因。

以上理论可通过以下几条线串联：

闭环系统稳定性依赖其对于冲击函数的响应是否收敛®是否收敛取决于其特征根全部具备负实部（无右半s平面极点）
辅助函数零极点特性包含了闭环与开环极点特性®研究辅助函数的零极点分布就能有效分析闭环系统特性
幅角原理定义了平面域内零极点分布特性R=P-Z ®应用到s平面，如果闭环系统没有右半s面极点，则辅助函数Z＝0 ®R=P，即包围的圈数等于辅助函数右半s面P，也即开环传函右半s面极点。对于常见系统而言没有右半s面极点，故辅助函数不能包围原点®开环传函不能包围（-1，j0）

二、幅相曲线零极点对于时域影响分析

复平面的幅相曲线能清晰的表征系统的频域特征，如增益裕量、相角裕量、截止频率等。

闭环系统零极点位置对于时域响应的影响如下所述：

闭环极点如果全部位于左半s平面，则系统一定是稳定的。稳定性只与闭环极点的位置有关，与闭环零点位置无关。
如果闭环系统无零点且闭环极点均为实数，则时间响应一定是单调，如果极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。
超调量取决于复数主导极点的衰减率，与其它零极点接近原点的程度有关。
调节时间取决于最靠近虚轴的闭环极点的实部绝对值。
零点减小系统阻尼使峰值时间提前超调量增大；极点增大系统阻尼使峰值时间迟后，超调量减小，他们的作用随着接近原点的程度而加强。
最靠近虚轴附近又无闭环零点的一些闭环极点对于系统性能影响最大。

闭环传函零极点与时域特征的关系在实际环路优化中十分重要，对于已知开环波特图再根据零极点调节使其满足频域与时域要求，这是其理论参考。实际开发工作中容易得到的是开环波特图，也正是利用辅助函数与开环传函的关系，所以依据开环波特图可以利用奈式判据判断系统稳定性。

三、期望达到的良好控制系统的幅相曲线表征

期望的指标

可以利用零极点位置对于时域特征影响的掌握来设计一个良好的控制系统。“为了使系统能够准确的复现输入信号，系统要求具备较大的带宽，但从抑制噪音的角度来看又不希望系统的带宽过大；为了获得较高的稳定裕度，其幅频特性曲线在截止频率处的斜率为-20dB/dec ，但从要求系统具备较强的从噪声中识别信号的能力考虑，却又希望截止频率处的斜率小于-40dB/dec；运行良好的系统相角裕度具有45度左右的数值，高于此值意味着对整个系统及其组成部件要求较高，同时由于稳定性过好造成动态过程缓慢；要实现45度左右相角裕度，开环幅频特性在中频区斜率应为-20dB/dec，同时要求在中频区占据一定频率范围，以保证在系统参数变化时相角裕度变化不大，过中频区后要求幅频特性迅速衰减以消弱噪声对系统的影响 ”。这些特征点的描述可以概括为：幅相曲线过截至频率时的斜率至少为-20dB /dec，斜率越小则信噪比越高，同时可以使系统具备较高的增益裕度；幅相曲线从-135度与临界点圆相交，以保证参数偏移时仍有一定的裕量。具体到我司的稳定裕量判据：30度，-6 dB，如下分析：

，信号输出是输入的2倍，即6dB，根据增益裕度公式r＝，h定义为，此时的幅相曲线对应为模值为0.5。下图中所示延红色虚线接近原点，a点位置处于+30度裕量范围内，同时与实轴的交点在b点（-6dB）or在b点以左，不满足裕度要求。应避免红色虚线的轨迹，图中紫色实线满足要求：PM大于30度，GM大于-6dB。

-30度裕量问题涉及到逆时针包围临界点问题，需要判断系统的右半s平面极点数P。很明显，对于P＝0的控制系统，相角裕度必为正（从a点以右进入，此时系统相角≥-180度），幅值裕度必为正（在a点以右与实轴相交，此时系统增益为负）。在HP4194A的波特图上表现为，增益裕度为负值，小于0dB；相角裕度为正值，大于0度。

2、幅相曲线

掌握幅相曲线的绘制基本方法对于判断系统稳定性有很大帮助，简单介绍如下：

对于开环系统传函：，幅相曲线具备以下规律：

1、当角频率w为0时，曲线的特征完全取决于K和g，K为开环增益，w（分子多项式的个数），（分母多项式的个数），g（原点极点的重数）。2、一般系统中，零点的个数小于极点数，那么幅相曲线必以的相角和原点相切。3、方程不含一阶微分方程时幅相曲线相角连续地减少，否则幅相曲线可能出现凸凹。各型系统的起点可参考下图。

开环系统位于原点的极点重数决定了系统的型别。如果没有位于原点的极点，称为0型系统；有一个位于原点的极点则称为1型系统。不同类型的系统对于阶跃响应，斜坡响应，加速度响应的稳态误差各不同。电源系统需要1型及其以上系统。

值得一提的是，各型系统的定义可以与传函中包含的积分环节相关联，积分环节传函为：，其幅相曲线与负虚轴重合，起于无穷远，止于原点，相角恒为-90度。含有一个积分环节则为1型系统，幅相曲线起于-90度。这里顺带介绍各典型环节的幅相曲线表征：

比例环节：幅相曲线为一个位于正实轴的点，幅频曲线恒为平行于实轴的直线，相频为0,
积分环节：，，
微分环节：，，
惯性环节：，，
一阶微分环节：，，。可知一阶微分与惯性环节幅相曲线以实轴互为镜像

振荡环节比较复杂这里不做介绍。一个典型的控制系统往往是以上环节的串连或者并联，对于电源常见系统传函一般都由以上环节构成。

截止频率

控制系统频域特性另一个关键指标为截至频率，对于稳定良好的系统，系统截止频率的选取虽无硬性规定，但需考虑对输入信号的复现以及对噪音信号的抑制问题。如下图所示：

0～wM为输入信号带宽，且满足。一般输入信号为低频，所以输入信号带宽较窄。如果控制系统能准确的复现输入信号r（t），那么系统的闭环频率响应必有，此时的系统的开环幅频特性在输入信号带宽内增益必须大于某一正值，故系统的截至频率必须大于wM，至于大于wM多少倍，则由允许的复现误差决定。

控制系统同时必须对干扰信号(w1~wf)有充分的抑制能力，

系统的截至频率wb要处于wM与w1之间，这样就能即保证对输入信号的准确复现又同时抑制了高频干扰信号。

fc直接关连到系统的时域动态特性，“系统的频率特性放宽几倍，单位阶跃响应就加快几倍。”一般来讲电源系统的带宽被设计为1/10开关频率（保证远离开关噪音），如前所述带宽越宽抑制输入端高频噪音的能力就弱，但也不能过低，具体确定要同时考察系统的时域特性，所以两者要取折衷。以一次电源常见电压环而言，开关频率在200K左右的系统，电压环截至频率一般在2～5K之间就能满足时域特性要求。

四、调试中对于零极点的判断和调整方法

波特图

现有条件获得波特图的方式是使用HP4194A的GAIN-PHASE功能，利用闭环的方法测试开环频率响应。闭环传函的准确推导依赖于功率环节的准确建模，实际操作上对于环路的优化工作有限（一般情况下主功率电路最先确定），相对来讲，对于分压补偿网络的建模和优化就容易和有效的多，分压补偿网络传函是整个开环传函的一部分，其零极点也必然表现在开环波特图上，实际的环路设计和优化也多集中在这一部分。

传递函数能准确表达输出信号与输入信号幅相的相对关系，传函中的零极点直接左右了波特图的走向及走势，而补偿网络又左右了控制环零极点分布，所以补偿网络是控制环设计的核心，常见的补偿网络由PID构成。

PID特性

首先了解比例微积分控制器的几个关键概念：

比例控制器P，在信号变换过程中只改变信号增益而不影响其相位
比例微分控制器PD，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，增加系统阻尼，改善稳定性，在系统中增加一个零点，使相位裕度提高，改善系统动态。
微分控制作用只对动态过程起作用，对于稳态过程没有影响，且对噪音非常敏感，所以单一的D控制器在任何情况下都不宜和被控对象串连起来单独使用，通常，微分控制器总和比例控制或者比例积分控制规律结合起来。
积分控制器I，有利于系统稳态性能提高，使系统增加了一个位于原点的极点，使信号产生90度相角滞后
比例积分控制器PI，相当于系统增加了一个位于原点的极点，同时增加了一个位于左半s平面的开环零点。位于原点的极点提高了系统的型别，可以消除或者减少系统稳态误差，改善稳态响应，增加的负实部零点则可提高系统阻尼程度。
比例积分微分控制器PID，组合了上述各控制器特点，使系统型别提高一级，同时提供两个负实部零点，系统在动态方面具有更大的优越性。
一般而言，I环节放置在低频段以提升系统稳态性能，D环节放置在系统中频段改善动态。

以上控制器描述具体到电路形式如下：

D―――超前网络―――相角增加90度，增益提升20dB / dec

作用段起于零点，终于极点

I―――滞后网络―――相角减少90度，增益衰减-20 dB / dec

作用段起于极点，终于零点

掌握了这两基本特征，可以总结出，传函中的零点会引起相角增加90度，增益提升20dB / dec，极点则会引起相角减少90度，同时增益衰减-20dB / dec。如图示：

实际电路中的补偿网络在提供“零极”点的同时也会提供“极零”点，哪个更靠近原点则整个补偿电路体现出零点的超前或者极点的滞后特性，如图示超前网络：

系统传函为为R1R2组成的常数系数，T为R1R2C1组成的时间常数。传函零点为，极点为，波特图如下：

零点更靠近原点，增益提升幅度为，相角增加最大值为，同理可分析滞后网络。有时会出现这种情况，幅频曲线平稳延伸但相频曲线起伏较大，如下图所示：

a点是相频曲线的转折点，但幅频曲线基本不变，观察前面提到的“增益提升幅度为，相角增加最大值为”假如增益抬升1 dB/dec（很小的幅度），通过计算可以得知，此时的相角增加值却为183度。在分析波特图时要注意这一特点。

3、定性分析与调整

根据以上基础，对于已知开环传函波特图可以进行定性分析：

幅频图上存在5个明显的拐点，根据其斜率变化可以得出：

a点（800Hz）有一极点

b点（2.4kHz）之前的斜率为-20 dB / dec之后变为20 dB / dec，此点两个位置十分相近的零点

c点（5.7kHz）之前斜率为20 dB / dec之后变为-20 dB / dec，此点有两个位置十分接近的极点

d点（12.5kHz）有一零点

e点（800Hz）有两个极点

对应的相频特征分析可以参考前面的例子，相位的变化在零极点位置之后。需要说明的是位于原点的极点波特图上无法体现，同时位于右半s平面的极点无法在波特图上体现。

上述实测波特图的电路如下：

按其级连特点分ABC三部分分别推导传函，详见文档

根据传函得出的零极点分布如下：

		频点	表达式	备注
A	Z1	101Hz		r1为R650+R660 r2为R668 r3为R655 c1为C652
A	P1	201Hz		r1为R650+R660 r2为R668 r3为R655 c1为C652
B（有―位于原点的极点）	Z2	2.456kHz		r4为R667 r5为R662 c2为C660 c3为C661
B（有―位于原点的极点）	P2	370kHz		r4为R667 r5为R662 c2为C660 c3为C661
C	Z3	100kHz		r6为R666 r7为R663 c4为C662
C	P3	9.5kHz		r6为R666 r7为R663 c4为C662

可以看出波特图中b点2.4k的拐点与Z2有关，c点5.7k的拐点和P3有关，再根据Z2和P3的构成式，即可定量的优化波特图走向。例如：可以看出Z2P3此两零极点的分布实际就是分别为C660*R662 和C662*R663的时间常数。

分压补偿网络只是整个开环传函的一部分，这部分的传函计算并不能表现出整个传函的特征，其零极点只能描述波特图上的部分拐点，而全部零极点的准确计算有赖于功率环节的建模。

如果电路形式不变优化上述环路：

首先确定系统增益，一般来讲，时域指标通过后再优化频域指标相对容易些；
提升增益，可增加fc，改善系统动态响应，但同时会减少相角裕度，输出噪音可能变大；
降低增益，会增加相角裕度，降低fc，抑制输出噪音，但系统动态会变差；
控制Z2与P3的位置处于相频曲线峰值的两侧，保证幅频曲线过零时系统具备较高的相角。使图中b点右移，c点左移，幅频过零点落在相频峰值区，这样即使多次过零相角裕度仍能维持在较高水平；
可以考虑取消Z2，使幅频曲线中频段不再上翘以保证过零时的斜率，或者将Z2移至低频区；
Z3为远端零点，已远超出fc，如果输出噪音较大或者存有振荡，可以考虑将其去掉。

、补偿电路

体补偿电路的频域特性参考机械工业出版社《自控理论第二版》：

基本上函盖了常见的补偿形式及其传函。

通常补偿电路的选取是在电路的设计阶段，调试阶段再改变其构成将受到较多限制，一般来讲，在设计补偿网络时，原点放置一极点，在低频端放置零点，中频段放置零极点，高频及远端放置极点，这样在后期的优化和调节中相对容易控制波特图的走向，使其接近理想走线，即具有较高低频增益，中频过零前保持一平台，过零时斜率至少-20 dB/dec，过零后斜率进一步减小。如果能预见到功率环的谐振峰问题，最好能在谐振点附近放置极点。

五、非稳定表征的幅相曲线时域特性及检验方法

环路在稳态时的作用

这里有一个疑问，如果系统已经处在一个稳定的工作点上，输出电压与输出负载均稳定不变，此时的环路在调节和控制什么？我们在试验中经常用到一种调试方法，即在PWM控制输入端给定一电平，此时功率输出能够稳定在一个电压值和电流值，但此时改变输入电压或者输出电流，那么输出电压也随之而变。既然给定一控制电平能使功率环节稳定工作在某一特定条件，那是否就是说环路的作用就是每当出现误差量时就自动改变这一给定电平使系统趋于设定输出电压下的稳定？那么当输入输出条件都不变时，环路又在调节些什么？如果环路在输入输出条件都不变时依然在不断的处理误差量，那为何在PWM控制输入端给定一电平也能时功率电路稳定？这一问题的回答有助于理解控制环路对于系统稳定工作起到的作用。实际控制系统在运行当中总会受到外界和内部一些因素的扰动，如负载和供电源波动，系统参数变化，环境条件变化等，如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态并随时间推移而发散。这里我们需要理解的是并非“PWM控制输入端给定一电平也能时功率电路稳定”，而是扰动量在一定小的程度里不易观察，比如给定电平的波动，输入电源的波动，模块内部参数漂移，这些变量在缺少环路的情况下均会在输出电压上表现出来，只是只有足够大时才能导致发现“功率电路不稳定”。可以做个简单试验，在这种情况下输入注入1kHz以下交流电压纹波，在输出电压上会很明显的观测到同样的纹波，幅值在满足变压器变比关系的同时也被输出LC电路控制，当输入纹波增大到一定程度时，输出不能正常工作，而有环路调节时，这种纹波能被有效抑制（音频隔离度），即使纹波大到输入电压上下限。电源中常用的反馈校正环节对于上述各种扰动均会在误差比较器输出端表现出调节量，而在外部给定电压的情况下这种反馈被中断，系统不可能工作在“稳定”的状态。

对于线性系统而言，系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原工作平衡点），则称系统渐进稳定；反之系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。这里提到的动态过程是指：系统在典型的输入信号下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，对于稳定系统而言，其动态过程必须是衰减的，各种扰动如果都在控制环路的带宽以内，那么对于扰动环路电路必会发出“纠正”信号，不同的在于纠正的强度和响应的快慢，可以这样理解，带宽决定了能够纠正的扰动范围，相移决定了响应的快慢（时滞），而增益决定了纠正的强度。

2、振荡

如果模块发生某一频率的振荡，其可能性在于

扰动信号超出带宽or控制环本身产生此频率的扰动注入功率环；
增益不足，能够检测到该信号但产生的误差量幅值过小；
有足够的增益，但环路在此频点上的相移接近180度，致使误差量出入功率环时被同相调节。

输出振荡幅值的大小与误差量的幅值和相位紧密相关，这也就就是为何有些振荡幅值较小，有些则是可能危及输出电路的振荡。

控制环的作用在于产生“纠正”信号使系统回到原来的状态上，可以这样假设：理想情况下，输入输出条件，温度，内部器件参数，外部电磁环境，物理机械条件等均绝对恒定，那么这个系统是不需要环路控制的，完全可以在开环状态下稳定工作，属于条件稳定系统。而实际系统中的扰动无处不在，控制环所具备的带宽决定了系统能在多大扰动范围内具备稳定工作的潜质，奈式判据则决定了其能否稳定以及能有多稳定。稳定和不稳定系统对于超出其控制环带宽的扰动表现是一致的，此时控制环对此扰动信号的表现均为衰减，也就是不会产生针对此扰动的误差量。在控制环带宽低于开关频率（常见系统）以及除去输出LC滤波功能的前提下，可以明确几点：1、高频振荡包括噪音（超过控制环带宽）无法通过环路抑制，2、不满足奈式判据的控制环可能引发的振荡频率与固有带宽有关。如下图示：

很明显不满足稳定性要求，分析如下：

a点之前信号为正常的“负反馈”输出；
a、b两点间的频段，此时表现为“正反馈”，信号被放大后送出，同“自激振荡”原理；（一点补充：幅相曲线中临界点（-1,j0）的含义为信号等幅反相180度，“对于负反馈系统来讲，该信号反馈到比较点后相角又滞后180度，回到前向通路的输入端时（PWM输入），振幅和相角都和原来一样，此时稳态系统输出端会出现等幅振荡信号”。临界点以左平面传函幅值大于1，临界点以右到虚轴之间平面传函幅值小于1，幅相曲线显示了每个频点上的信号幅值与相位，根据稳定性的理解，相位反相或者接近反相时，此时如果仍具有正的增益，则可能引发系统振荡。）
b点之后信号已被衰减。

可见带宽越宽，由环路自身裕量不足引起的振荡频率最大值越大。如果振荡频率超出了带宽，需要考虑环路以外电路对输出的影响，比如输出回路的谐振、pfc电压振荡等，这些均可在输出电压上观测到明显的振荡，因为既便频域特性良好的环路也已无调节能力。

3、实例

（图片来源为测试部论坛1999.10.22文档《HD4820－5限流环优化报告》）：

限流环频域稳定性裕量不足导致振荡：

振荡频率为7.57kHz，此时的波特图为：

截至频率8.44kHz，PM27度，GM-4.3dB，没有谐振峰等其它问题，可以理解为裕量不足导致振荡，经过压低带宽消除了振荡，此时的波特图为：

此时的带宽4kHz，PM75度，GM12dB

对于时域中的输出振荡问题，可以参考以下几步分析：

观测振荡频率fo；
在最接近振荡条件的不振荡状态下测试环路，如加载10A以上振荡，那么可以测试9A的波特图，得到fc以及裕量参数；
如果fo小于或者在fc附近（测量误差），根据经验，常见的振荡多发在fc附近，一般都是由于环路裕量问题引起，优化环路可以解决，如果fo明显大于fc，很大可能性与环路参数无关，更多的考察其它电路，如源干扰、辅助电源供电、磁性器件本身谐振等；
特别注意波特图上的谐振峰问题，以及布板干扰（电、磁）。

比较难判断的一种情况，如下图所示：

包含多种频率，但频率较低接近工频，最终通过排查并非环路不合理，而是布线干扰问题所致，重新布线远离干扰源后问题得以解决，如下图：

系统的传函包括了功率环与控制环，虽然环路调试中容易优化和经常优化的往往只是控制环，需要注意的是功率环的变化可能会引起频域参数由稳定到不稳定，比如主变电感，功率开关管导通损耗，输出二极管压降，滤波电感感量，共模电感差模分量等，改变了一个即改变了整个闭环传函，往往功率环早先已设定并且作为其它相关电路的设计基础，而在后期调试中以环路优化为目的调整功率环参数会“牵一发而动全身”而且具备一定难度，所以在功率环参数不再有大的变化时再调节控制环可以有效避免返工。