一元三次方程求解matlab_为什么一元n次代数方程必有n个根？
记得第一次学习一元二次方程是在初中的时候。那个时候老师就告诉我们，一元二次方程一般有两个根，一元n次方程则一般有n个根。后来在课外书上了解到，这个结论最早是由数学王子高斯严格证明出来的。
当时我就有一个疑惑，明明有些一元二次方程因为判别式小于0是没有根的啊？为什么说都有两个根呢？比如方程
人们认识数的过程同求解一元n次代数方程的过程是息息相关的。人们最早天然认识到的数当然是自然数（又叫正整数，有时也把0纳入到自然数的范围），之后为了求解诸如
复数也是在这个过程中被逐步认识到的。在求解诸如
复数的定义是数学领域的一件大事，它使得我们在用数轴表示实数的基础上直接跨越到用复平面表示复数了，从一维跨越到了二维。复数像实数一样，构成了一个数域，简单说来，就是任何两个复数的加、减、乘、除（分母不得为0）得到的结果仍然是复数。在复数范围内，任何复数系数一元n次方程都有n个根（可能会有重根），从而在求解一元n次方程这个问题上，人们一劳永逸的解决了数域范围的问题，不会因为求解一元n次方程而再需要扩充数的范围了。
其实，对于一般的一元5次及以上次数的方程，人们是无法根式求解的，也就是说，除了数值求得近似解外，我们连这类方程的一般解都无法表达出来。解都无法表达，为什么我们还这么肯定它们存在呢？这就是数学的奇妙之处所在了。“一元n次方程必有n个根”，这个定理被称为代数基本定理，从名字就可以看出这个定理的重要性。下面，我们就通过一个相对比较容易理解的方法给出证明。
在证明之前，先普及一点点需要用到的复数的最基本的知识：
（1）任何复数z都可以写成
（2）任何复数z也可以写成
（3）
（4）
（5）棣莫弗公式：对于
好，下面证明开始。
第一步：证明对于任意一元n次方程（n为大于0的整数）至少有一个根。
设
反证法，假设这个
我们考察一个以复平面原点为圆心、r为半径的圆周曲线，这个曲线上的点对应的复数为
如果r=0，则z绘出的圆周退化为原点O，同样的，
既然
当
从而，如果我们以
这就是说，
原点O必然在
！
随着r的连续增大，
连续变化。但是因为任意
结论1，对于任意以原点为圆心的圆周上的点z，原点O永远在对应的
！
但是当我们从另外一个角度研究这个问题的时候，矛盾出现了。刚才是找足够小的 r ，现在我们改为找足够大的 r 。我们总可以找到足够大的 r ，使得对于每个z，都有
上式第二步是将分子分母同时除以
这表明，对于这样足够大的 r 来说，点
之所以可以不经过原点，是因为
由于这个移动是连续的，而且是不经过原点的，所以原点O相对于
。移动完成后，
从而我们得到结论2，对于这个足够大的 r ，原点O也在相应的
。
上述结论1与结论2显然是矛盾的。于是我们得到
第二步，从有一个根得到有n个根。
既然一定有一个根，那么不妨设这个根为
我们知道有一个因式分解的恒等式，
利用这个恒等式，得到
根据第一步的结果，
之所以会有一个常数项
当然，我们不排除某个
到此，我们完成了代数基本定理的证明，说明了为什么一元n次方程必有n个根。
在高斯的一生中，给出了四种代数基本定理的证明方法，最后一个方法是他晚年71岁的时候给出的。高斯肯研究四种证明方法，说明他很重视这个定理。确实，代数基本定理被公认为是在代数乃至整个数学中起着基础作用的定理。
我们今天这个证明方法要比高斯给出的四种方法都简洁易懂一些，但是严格地讲，我们利用了拓扑学的一些基本知识（如连续、移动等），虽然这些说法普通人都能很容易理解，但是要给出严格的数学定义以及相关证明并不简单。所以，我们方法虽然简洁易懂，可仍然是站在前辈的肩膀上得到的。
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