多元函数偏导数连续、存在与可微的关系

2024-05-13 02:22:53

文章目录

偏导数连续、可微、偏导数存在三者之间的关系
概念回顾
- 多元函数求极限
- 多元函数连续
- 偏导数
- 可微
- - 可微的充分条件（定义式）
  - 可微的必要条件（偏导数存在）
例题

偏导数连续、可微、偏导数存在三者之间的关系

注意，以上关系图中均为单向箭头，即全是必要条件（若p<=q(p≠>q)p<=q(p≠>q)p<=q(p=>q)，则p是q的必要（不充分）条件，如p为矩阵A,B的秩相等，q为A~B（A相似于B），仅能有q推出p，而不能由p推出q，即p存在不一定能推q，但q存在一定能推出p）;

其中偏导数连续是最强条件，可以推可微，可以推偏导数存在，可以推连续（连续必然极限存在）;

概念回顾

多元函数求极限

除洛必达法则、单调有界准则不能照搬使用外，其他求极限的方法同一元函数求极限的一致。

多元函数求极限的具体例题、系统方法可参考：零蛋大——多元函数求极限方法总结

多元函数连续

即函数f(x,y)在(x0,y0)f(x,y)在(x_0,y_0)f(x,y)在(x0,y0)上的极限值等于f(x0,y0)f(x_0,y_0)f(x0,y0)

偏导数

可微

可微的充分条件（定义式）

可微的必要条件（偏导数存在）

若函数在某点(x,y)处的偏导数不存在，则一定不可微，即偏导数存在不一定能可微，但偏导数不存在一定不可微！

例题

2012 数学一真题：

选项A. 若f(x,y)f(x,y)f(x,y)就取分母∣x∣+∣y∣|x|+|y|∣x∣+∣y∣，显然满足极限存在，

但通过偏导数定义法求解f(x,y)f(x,y)f(x,y)的偏导数会出现一元函数中类似∣x∣x\frac{|x|}{x}x∣x∣含尖点的情况，

则偏导数是不存在的，故不能推出可微；

带绝对值的函数一般都是不可微的（一元中不可导），在多元函数积分学中这一点也会起到关键作用（当被积函数分母有绝对值，偏导数不存在时，不能利用高斯公式求解二型曲面积分，而只能用转换投影法）

选项C. 若f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(0,0)处可微，可以取平面f(x,y)=1f(x,y)=1f(x,y)=1，显然f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(0,0)处可微，但选项C的极限为“1/0趋于∞”，极限并不存在；

选项D. 同上；

选项B. 由选项B中的极限，可以推出f(0,0)=0f(0,0)=0f(0,0)=0（f(x,y)f(x,y)f(x,y)必为无穷小量x2+y2趋于0无穷小量x^2+y^2趋于0无穷小量x2+y2趋于0的高阶无穷小），

且可以通过偏导数定义法（公式法）求出fx′(0,0)=fy′(0,0)=0f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0fx′(0,0)=fy′(0,0)=0，再代入可微的定义式中，可以证明满足可微的充分条件，故B正确；

但从应试技巧上讲，这已经是当年高数选择题中最难的一道概念题了，不管掌握得是否全面，根据排除法已经能做对这道题了.

多元函数偏导数连续、存在与可微的关系相关推荐

二元函数连续与偏导数存在的关系_怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系...
展开全部多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件.62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464 而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续 ...
二元函数可导与可微的关系_视频教学：期末试卷解析之多元函数基本概念及相互关系讨论...
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! 今天视频对应的考题是两个选择题,整套试卷内容参见推荐阅读列表的第一篇推文.视频探讨的内容包括: 1.极限存在性判定的极 ...
二元偏导数存在的条件_多元函数可导、可微、连续、一阶偏导数连续之间关系的总结...
作者:k_ys 链接:基础解系的理解_k_ys的博客-CSDN博客以二元函数为代表解释他们之间的关系. 1>可导不一定连续,连续不一定可导. 对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导 ...
多元函数可导、可微、连续、一阶偏导数连续之间关系的总结
以二元函数为代表解释他们之间的关系. 1>可导不一定连续,连续不一定可导. 对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数.偏导数的存在只能保证与坐标轴平 ...
【高等数学】多元函数-连续可导可微（定义+证明+记忆方法）
多元函数-连续偏导可微文章目录多元函数-连续偏导可微定义 1.连续定义 2.偏导定义 3.可微定义 2.三者关系 3.关系证明 3.1 偏导和连续 3.2 可微和偏导 3.3 可微和连续 ...
为什么偏导数连续，函数就可微？
多变量微积分里面有这么一个结论: 如果函数的偏导数 . 在点连续,那么函数在该点可微. 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件. 先简单阐述下"连续"."偏导数& ...
高等数学的函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系（多元）
结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导: 可微与连续的关系:可微与可导是一样的: 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积: 可导与可积的关系:可导一般可积,可积推 ...
高等数学：函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系（多元）
结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导: 可微与连续的关系:可微与可导是一样的: 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积: 可导与可积的关系:可导一般可积,可积推 ...
多元函数可导，连续，可微的关系
首先博主总结一下:偏导连续=>可微=>偏导存在=>连续以下为原文内容: 以二元函数为代表解释他们之间的关系. 1>可导不一定连续,连续不一定可导. 对于二元函数而言:可导是指 ...
函数可微，偏导数连续，函数连续，函数可导的关系
1) 函数连续无法推出函数可导,同理函数可导无法推出函数连续. 2)函数可微可以推迟函数连续,也可以推出函数可导,但是函数连续推不出函数可微,函数可导也无法推出函数可微. 3)偏导数连续(偏导数存在且 ...

最新文章

热门文章