任务详解：

这节课主要介绍了泰勒公式，函数的凹凸性，函数的极值，不定积分，定积分等知识点。
掌握目标：
1、了解泰勒公式
2、了解函数的凹凸性
3、掌握函数的极值，以及极值的充要条件
4、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式

1.泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理1：如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处具有n阶导数，那么存在x0x_0x0的一个邻域，对于该邻域内的任一xxx，有
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中：
Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x)=o((x-x_0)^n)Rn(x)=o((x−x0)n)
说人话：这个定理就是任意一个函数f(x)f(x)f(x)，都可以在x0x_0x0展开，写成一个多项式的模式，最后一项就是误差Rn(x)R_n(x)Rn(x)，是x到x0x_0x0的高阶无穷小（佩亚诺余项）。
泰勒（Taylor）中值定理2：如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)x\in U(x_0)x∈U(x0)，有
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中：
Rn(x)=fn+1(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}Rn(x)=(n+1)!fn+1(ξ)(x−x0)n+1
ξ\xiξ是x0x_0x0与xxx之间的某个值，这项也叫：拉格朗日余项
当×0=0时，称为麦克劳林展开
例子（略）

2.函数的凹凸性

定义：设f(x)f(x)f(x)在区间III上连续，如果对III上任意两点x1,x2x_1,x_2x1,x2恒有
f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)
那么称f(x)f(x)f(x)在III上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)
那么称f(x)f(x)f(x)在III上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.
如果函数f(x)f(x)f(x)在III内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理：
定理2：设f(x)f(x)f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内fn(x)>0f^n(x)>0fn(x)>0，则f(x)f(x)f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
（2）若在(a,b)内fn(x)<0f^n(x)<0fn(x)<0，则f(x)f(x)f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
证明：
设x1x_1x1和x2x_2x2为[a,b]类任意两点，且x1<x2x_1<x_2x1<x2，记x1+x22=x0\frac{x_1+x_2}{2}=x_02x1+x2=x0，并记x2−x0=x0−x1=hx_2-x_0=x_0-x_1=hx2−x0=x0−x1=h，则x1=x0−hx_1=x_0-hx1=x0−h，x2=x0+hx_2=x_0+hx2=x0+h

由拉格朗日中值公式可得：
f(x0+h)−f(x0)=f′(ξ1)(x0+h−x0)=f′(x0+θ1h)h,0<θ1<1(1)f(x_0+h)-f(x_0)=f'(\xi_1)(x_0+h-x_0)=f'(x_0+\theta_1h)h,0<\theta_1<1\tag{1}f(x0+h)−f(x0)=f′(ξ1)(x0+h−x0)=f′(x0+θ1h)h,0<θ1<1(1)
f(x0)−f(x0−h)=f′(ξ2)(x0−x0+h)=f′(x0−θ2h)h,0<θ2<1(2)f(x_0)-f(x_0-h)=f'(\xi_2)(x_0-x_0+h)=f'(x_0-\theta_2h)h,0<\theta_2<1\tag{2}f(x0)−f(x0−h)=f′(ξ2)(x0−x0+h)=f′(x0−θ2h)h,0<θ2<1(2)
上面由于ξ1\xi_1ξ1是在x0x_0x0到x0+hx_0+hx0+h之间的，所以可以写成最后那个样子(ξ1=x0+θ1h(\xi_1=x_0+\theta_1h(ξ1=x0+θ1h是等价的，ξ2\xi_2ξ2同理。
等式（1）减（2）得：
f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=[f′(x0+θ1h)−f′(x0−θ2h)]h(3)f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=[f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0-\theta_2h)]h\tag{3}f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=[f′(x0+θ1h)−f′(x0−θ2h)]h(3)
对等式（3）中的f′(x0+θ1h)−f′(x0−θ2h)f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0-\theta_2h)f′(x0+θ1h)−f′(x0−θ2h)再来一次拉格朗
日
中值公式：
f′(x0+θ1h)−f′(x0+θ2h)=f′′(ξ3)(x0+θ1h−x0+θ2h)f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0+\theta_2h)=f''(\xi_3)(x_0+\theta_1h-x_0+\theta_2h)f′(x0+θ1h)−f′(x0+θ2h)=f′′(ξ3)(x0+θ1h−x0+θ2h)=f′′(ξ3)(θ1+θ2)h(4)=f''(\xi_3)(\theta_1+\theta_2)h\tag{4}=f′′(ξ3)(θ1+θ2)h(4)
将（4）带入（3）：
f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=f′′(ξ3)(θ1+θ2)h2(5)f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=f''(\xi_3)(\theta_1+\theta_2)h^2\tag{5}f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=f′′(ξ3)(θ1+θ2)h2(5)
对于定理的第一种情况
（1）若在(a,b)内fn(x)>0f^n(x)>0fn(x)>0，则f(x)f(x)f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
我们可以由f′′(ξ3)>0，(θ1+θ2)>0,h2>0f''(\xi_3)>0，(\theta_1+\theta_2)>0,h^2>0f′′(ξ3)>0，(θ1+θ2)>0,h2>0，对公式(5)判断：整体大于0，即：
f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)>0f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)>0f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)>0
把x1=x0−hx_1=x_0-hx1=x0−h，x2=x0+hx_2=x_0+hx2=x0+h，x1+x22=x0\frac{x_1+x_2}{2}=x_02x1+x2=x0带回去
f(x2)+f(x1)>2f(x1+x22)f(x_2)+f(x_1)>2f(\frac{x_1+x_2}{2})f(x2)+f(x1)>2f(2x1+x2)
证明完毕
f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)
情况二类似。

3.函数的极值

定义设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内有定义，如果对于去心邻域Uo(x0)\overset{o}{U}(x_0)Uo(x0)内的任一x，有
f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))
说人话：就是x0x_0x0比附近所有的x的值都大（小）。
那么就称f(x0)f(x_0)f(x0)是函数f(x)f(x)f(x)的一个极大值（或极小值）.

定理1（必要条件）：设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，且在x0x_0x0处取得极值，则f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0

定理2（第一充分条件）：设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续，且在x0x_0x0的某去心邻域Uo(x0,δ)\overset{o}{U}(x_0,\delta)Uo(x0,δ)内可导.
（1）若x∈(x0−δ,x0)x\in (x_0-\delta,x_0)x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)x\in (x_0,x_0+\delta)x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，则f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极大值；
说人话：在x的左边导数大于0（函数递增），右边导数小于0（函数递减）.
（2）若x∈(x0−δ,x0)x\in (x_0-\delta,x_0)x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)x\in (x_0,x_0+\delta)x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，则f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极小值；
（3）若x∈Uo(x0,δ)x\in \overset{o}{U}(x_0,\delta)x∈Uo(x0,δ)时，f′(x)f'(x)f′(x)的符号保持不变，则f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处没有极值。

定理3（第二充分条件）：设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处具有二阶导数且f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0，
f′′(x0)≠0f''(x_0)\neq0f′′(x0)=0，则
（1）当f′′(x0)<0f''(x_0)<0f′′(x0)<0时，函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极大值；
（2）当f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0)>0时，函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极小值.
这个定理3是根据函数的凹凸性来进行判断了，也可以用泰勒展开式来进行判断。

4.不定积分（求原函数）

定义1：如果在区间III上，可导函数F(x)F(x)F(x)的导函数为f(x)f(x)f(x)，即对任一x∈Ix\in Ix∈I，都有
F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dxF'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dxF′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F（x）就称为f(x)（或f(x)dx）f(x)（或f(x)dx）f(x)（或f(x)dx）在区间III上的一个原函数
定义2：在区间III上，函数f(x)f(x)f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)f(x)f(x)（或f(x)dxf(x)dxf(x)dx）在区间III上的不定积分，记作
∫f(x)dx\int f(x)dx∫f(x)dx
其中记号∫\int∫称为积分号，f(x)f(x)f(x)称为被积函数，f(x)dxf(x)dxf(x)dx称为被积表达式，xxx称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果F(x)F(x)F(x)是f(x)f(x)f(x)在区间III上的一个原函数，那么F(x)+CF(x)+CF(x)+C就是f(x)f(x)f(x)的不定积分，即
∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C
性质1：设函数f(x)f(x)f(x)及g(x)g(x)g(x)的原函数存在，则：
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
性质2：设函数f(x)f(x)f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx\int kf(x)dx=k\int f(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

第一类换元法（凑微分）

定理1:设f(u)f(u)f(u)具有原函数，u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)可导，则有换元公式
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\left [\int f(u)du\right]_{u=\varphi(x)}∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)
例子：求∫2cos2xdx\int 2cos2xdx∫2cos2xdx
∫2cos2xdx=∫cos2xd2x\int 2cos2xdx=\int cos2xd2x∫2cos2xdx=∫cos2xd2x
令u=2xu=2xu=2x
∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C\int cos2xd2x=\int cosudu=sinu+C∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C
带回u=2xu=2xu=2x
∫2cos2xdx=sin2x+C\int 2cos2xdx=sin2x+C∫2cos2xdx=sin2x+C

第二类换元法

定理2：设x=ψ(t)x=\psi(t)x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0.\psi'(t)\neq0.ψ′(t)=0.又设f[ψ(t)]ψ′(t)f[\psi(t)]\psi'(t)f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式
∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=φ−1(x)\int f(x)dx=\left [\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt\right]_{t=φ^{-1}(x)}∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=φ−1(x)
其中φ−1(x)φ^{-1}(x)φ−1(x)是x=ψ(t)x=\psi(t)x=ψ(t)的反函数.

分部积分法

∫udv=uv−∫vdu\int udv=uv-\int vdu∫udv=uv−∫vdu
例子：求∫xcosxdx\int xcosxdx∫xcosxdx
∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C\int xcosxdx=\int x dsinx=xsinx-\int sinxdx=xsinx+cosx+C∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

5.定积分

定积分的意义：曲线的面积

在区间[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0<x1<x2<……<xn−1<xn=ba=x_0<x_1<x_2<……<x_{n-1}<x_n=ba=x0<x1<x2<……<xn−1<xn=b
把[a,b]分成n个小区间
[x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn][x_0,x_1],[x_1,x_2],…,[x_{n-1},x_n][x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn]
它们的长度依次为
Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,...,Δxn=xn−xn−1\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,...,Δxn=xn−xn−1
面积A为：
A≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+...+f(ξn)Δxn=∑i=1nf(ξi)ΔxiA\approx f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+...+f(\xi_n)\Delta x_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_iA≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+...+f(ξn)Δxn=i=1∑nf(ξi)Δxi
其中ξi\xi_iξi是在xi−1∼xix_{i-1}\sim x_ixi−1∼xi区间的任意一个值。
为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间长度中的最大者趋于零，如记λ=max∣Δx1,Δx2,…,Δxn∣\lambda=max|\Delta x_1, \Delta x_2,…,\Delta x_n|λ=max∣Δx1,Δx2,…,Δxn∣，则上述条件可表示为λ→0\lambda \to0λ→0.当λ→0\lambda \to0λ→0时（这时分段数n无限增多，即n→∞n\to \inftyn→∞），取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积
A=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)ΔxiA=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_iA=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
∫abf(x)dx=I=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^bf(x)dx=I= \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i∫abf(x)dx=I=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi

牛顿莱布尼茨公式

定理3（微积分基本定理）如果函数F(x)F(x)F(x)是连续函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b]
上的一个原函数，那么
∫abf(x)dx=F(b)−f(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-f(a)∫abf(x)dx=F(b)−f(a)

换元法

分部积分

例子：
∫01xe−xdx=∫01−xde−x=[−xe−x]01−∫01e−xd−x\int_0^1xe^{-x}dx=\int_0^1-xde^{-x}=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\int_0^1e^{-x}d{-x}∫01xe−xdx=∫01−xde−x=[−xe−x]01−∫01e−xd−x
=(−1e−1)−∫10eudu=−e−1−[eu]10=e−1−1+e=(-1e^{-1})-\int_1^0e^udu=-e^{-1}-[e^u]_1^0=e^{-1}-1+e=(−1e−1)−∫10eudu=−e−1−[eu]10=e−1−1+e

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