定理：

合适维数的矩阵 A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D，合适维数的向量 x,yx, yx,y，有
2xT((AB)⊗(CD))y≤xT(AAT⊗CCT)x+yT(BTB⊗DTD)y2x^{T}\left(\left(AB\right) \otimes \left(CD\right)\right)y\leq x^T\left(AA^T \otimes CC^T\right)x + y^T\left(B^TB \otimes D^TD\right)y 2xT((AB)⊗(CD))y≤xT(AAT⊗CCT)x+yT(BTB⊗DTD)y

原因分析：

2xT((AB)⊗(CD))y=2xT(A⊗C)(B⊗D)y=2((A⊗C)Tx)T(B⊗D)y≤((A⊗C)Tx)T((A⊗C)Tx)+((B⊗D)y)T(B⊗D)y=xT(A⊗C)(A⊗C)Tx+yT(B⊗D)T(B⊗D)y=xT(AAT⊗CCT)x+yT(BTB⊗DTD)y\begin{aligned} {}&2x^{T}\left(\left(AB\right) \otimes \left(CD\right)\right)y \\ ={}& 2x^{T}\left(A \otimes C\right)\left(B \otimes D\right)y \\ ={}& 2\left(\left(A \otimes C\right)^Tx\right)^T\left(B \otimes D\right)y \\ \leq{}& \left(\left(A \otimes C\right)^Tx\right)^T\left(\left(A \otimes C\right)^Tx\right) + \left(\left(B \otimes D\right)y\right)^T\left(B \otimes D\right)y \\ ={}& x^T\left(A \otimes C\right)\left(A \otimes C\right)^Tx + y^T\left(B \otimes D\right)^T\left(B \otimes D\right)y \\ ={}& x^T\left(AA^T \otimes CC^T\right)x + y^T\left(B^TB \otimes D^TD\right)y \end{aligned} ==≤==2xT((AB)⊗(CD))y2xT(A⊗C)(B⊗D)y2((A⊗C)Tx)T(B⊗D)y((A⊗C)Tx)T((A⊗C)Tx)+((B⊗D)y)T(B⊗D)yxT(A⊗C)(A⊗C)Tx+yT(B⊗D)T(B⊗D)yxT(AAT⊗CCT)x+yT(BTB⊗DTD)y

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