[TJOI2019]唱、跳、rap和篮球

题目

洛谷

题意

nnn个同学排队，有分别喜欢唱、跳、rap、篮球的（下文用c、t、r、lc、t、r、lc、t、r、l代替）。将他们排成一列，使没有连续444个是ctrlctrlctrl。求合法的排列数。

思路

首先，对于这一类求方案数，我们按照常规，将它反过来，求至少有一个ctrlctrlctrl的方案数。

分解

鸡你太美

考虑将讨论鸡你太美的人提出来，计算讨论鸡你太美的人的方案数。
设讨论鸡你太美的有mmm堆人，则不讨论鸡你太美的人有n−4mn-4mn−4m个。将这样的一堆看做一个点，显然，就将排列看成了n−3mn-3mn−3m个点。
接下来，要从这总共的n−3mn-3mn−3m个点中选出不讨论鸡你太美n−4mn-4mn−4m个人。易得，这样的选取数为
Cn−3mn−4m=Cn−3mmC_{n-3m}^{n-4m}=C_{n-3m}^{m}Cn−3mn−4m=Cn−3mm

鸡你不美

接下来，计算不讨论鸡你太美(简称鸡你不美)的排列数。
这个时候，不能直接简单地进行组合。因为有可能两个鸡你不美的数列拼在一起，会产生鸡你太美，导致实际讨论鸡你太美的人大于4m4m4m。
怎么解决这个问题呢？考虑进行容斥，枚举实际的讨论组数mmm ~ n4\frac{n}{4}4n。
设题中a、b、c、da、b、c、da、b、c、d中的最小值为ppp
发现Ans=Ans=Ans=
∑i=0p(−1)i×Cn−3ii×(剩余n−4i个人的排列数)\sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}\times C_{n-3i}^{i}\times (剩余n-4i个人的排列数)i=0∑p(−1)i×Cn−3ii×(剩余n−4i个人的排列数)
为什么呢？
因为枚举至少iii组的时候，会对至少jjj组(j≥i)j≥i)j≥i)的产生CjiC_{j}^{i}Cji的贡献
例如：
当枚举至少111组时，会对至少222组的产生C21=2C_{2}^{1}=2C21=2的贡献，对至少333组的产生C31=3C_{3}^{1}=3C31=3的贡献
当枚举至少222组时，会对至少333组的产生C32=3C_{3}^{2}=3C32=3的贡献，对至少444组的产生C42=6C_{4}^{2}=6C42=6的贡献
那么，剩余人的排列数如何算呢？
其实很简单。
因为剩余c、t、r、lc、t、r、lc、t、r、l分别有a−m、b−m、c−m、d−ma-m、b-m、c-m、d-ma−m、b−m、c−m、d−m个，总排列数为(n−4m)!(n-4m)!(n−4m)!

a+b+c+d=na+b+c+d=na+b+c+d=n，即一个人只喜欢一种，排列数就为
(n−4m)!(a−m)!(b−m)!(c−m)!(d−m)!\frac{(n-4m)!}{(a-m)!(b-m)!(c-m)!(d-m)!}(a−m)!(b−m)!(c−m)!(d−m)!(n−4m)!
a+b+c+d>na+b+c+d>na+b+c+d>n，一个人可能喜欢多种，这个时候该怎么办呢？我们考虑在计算排列的同时进行枚举。得到式子：

Pai=∑a′≤a−m,b′≤b−m,c′≤c−m,d′≤d−m[a′+b′+c′+d′=n−4m](n−4m)!a′!b′!c′!d′!Pai=\sum_{a'≤a-m,b'≤b-m,c'≤c-m,d'≤d-m}[a'+b'+c'+d'=n-4m]\frac{(n-4m)!}{a'!b'!c'!d'!}Pai=a′≤a−m,b′≤b−m,c′≤c−m,d′≤d−m∑[a′+b′+c′+d′=n−4m]a′!b′!c′!d′!(n−4m)!
=(n−4m)!∑a′≤a−m,b′≤b−m,c′≤c−m,d′≤d−m[a′+b′+c′+d′=n−4m]1a′!1b′!1c′!1d′!\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(n-4m)!\sum_{a'≤a-m,b'≤b-m,c'≤c-m,d'≤d-m}[a'+b'+c'+d'=n-4m]\frac{1}{a'!}\frac{1}{b'!}\frac{1}{c'!}\frac{1}{d'!} =(n−4m)!a′≤a−m,b′≤b−m,c′≤c−m,d′≤d−m∑[a′+b′+c′+d′=n−4m]a′!1b′!1c′!1d′!1
很显然，是一个四元卷积，进行NTTNTTNTT求值即可。

Code：

咕咕咕