离散数学笔记整理（个人向）
1. 集合
1.1. 概念
- 等势：A、B两集合间存在一一对应的关系，则称A与B等势，记为 A ~ B。
- 可数集合：与自然数集合N等势的集合。集合基数为阿列夫零。包括：正奇数集合，质数集合，有理数集合Q。
- 不可数集合：与开区间(0, 1)等势的集合。集合基数为阿列夫。
集合A的基数记为card A
1.2. 特殊集合
自然数集N，有理数集Q，实数集R，空集∅，全集E，A的幂集P(A) = {x | x ⊆ A}
当A = ∅时，P(A) = {∅}
1.3. 集合运算
- 异或（对称差）：去掉两个集合交集的元素，再并起来
2. 命题逻辑
2.1. 联结词
蕴涵联结词：P → Q
- 如果P，则Q
- 因为P，所以Q
- 只要P，就Q
- P仅当Q
- 只有Q，才P
- 除非Q，才P
- 除非Q，否则¬P
优先级：否定、合取∧、析取∨、蕴涵、等价
ps. 当两个命题不同时成立时，异或可以用析取表示
2.2. 命题公式
分类：重言式（永真）、矛盾式（永假）、可满足式（有真）
2.3. 等价关系
- 等值式：若A ↔ B是重言式，则记为等值式A ⇔ B，也即A与B等价。
- 吸收律：G ∧ (G ∨ H) = G；G ∨ (G ∧ H) = G
- 蕴涵式：G → H = ¬G ∨ H
- 等价式：G ↔ H = (G → H) ∧ (H → G)
2.4. 范式
- 文字：命题变元或命题变元的否定
- 子句：文字析取构成
- 短语：文字合取构成
- 析取范式：由短语析取构成
- 合取范式：由子句合取构成
- 主析取范式：极小项，文字默认为真，真值表找1
- 主合取范式：极大项，文字默认为假，真值表找0
2.5. 推理
基本推理形式
- 推理有效：前提都为真，则结论为真。
- 判定定理：A₁，A₂，…，An → B为重言式，当且仅当A₁，A₂，…，An ⇒ B有效。
- 证明有效：
- 真值表法
- 等值演算法
- 主析取范式法（包含所有极小项则为重言式）
自然演绎法
概念：给若干前提，推出一个结论
推理定律：
- 附加律：A ⇒ A ∨ B或B ⇒ A ∨ B
- 简化律：A ∧ B ⇒ A或A ∧ B ⇒ B
- 假言推理：A → B，A ⇒ B
- 拒取式：A → B，¬B ⇒ ¬A
- 析取三段论：A ∨ B，¬B ⇒ A
- 假言三段论：A → B，B → C ⇒ A → C
- 构造性二难：A → B，C → D，A ∨ C ⇒ B ∨ D
- 破坏性二难：A → B，C → D，¬B ∨ ¬D ⇒ ¬A ∨ ¬C
- 合取引入：A，B ⇒ A ∧ B
推理规则（自然推理系统）：
- 规则P（前提引入规则）：推导过程中，可随时引入前提集合中任一个集合。
- 规则T（结论引入规则）：推导过程中，可随时引入由一个或多个前提推导出来的中间结果。
- 规则CP（置换规则）：如果能由前提集合Γ与公式P推出结论S，则能由Γ推出P → S。
- 上面八条推理定律形成的规则
证明推理：
- 直接证明法
- 附加前提证明法：用规则CP
- 归谬证明法（反证法）：将结论否定式作为前提，用直接证明法推出矛盾式。原理如下：
① 若证A₁，A₂，…，An ⇒ B
② 即证A₁，A₂，…，An → B为重言式
③ 又由蕴涵式：¬(A₁ ∧ A₂ ∧ … ∧ An) ∨ B为重言式
④ 由反证法：A₁ ∧ A₂ ∧ … ∧ An ∧ ¬B为矛盾式。
3. 谓词逻辑
3.1. 概念
个体、谓词、量词
∀x(P(x) → Q(x))：在个体域D中的任意x，如果其有性质P，则其就有性质Q。
- x是个体变元
- ∀x是全称量词（全称用→，存在用∧）
- P、Q是谓词，也被称为原子公式
例：所有人都会说话。P：x是人。Q：x会说话。
公式：全称合式公式，原子公式是合式公式，¬P，P∨Q，P∧Q，P→Q，P↔Q都为合式公式，带量词的合式公式也是合式公式。
约束变元：个体变元x在使用变元x量词的辖域内，则称x为约束变元。
自由变元：不在辖域内则成为自由变元。
闭式：一个公式内无自由变元，则称该公式为闭式。
3.2. 谓词公式
分类：永真式（逻辑有效式）、矛盾式（永假式）、可满足式
3.3. 公式等价关系
- 等价：若公式P ↔ Q是永真式，则P ⇔ Q是等值式，也即公式P与公式Q等价。
- 共有：命题公式的等价关系在谓词公式中依然成立。
- 特有：P、Q含有变元x，S不含变元x
- 改名规则：∀xP(x) = ∀yP(y)；存在量词同理
- 量词转换律：¬∀xP(x) = ∃x¬P(x)；¬∃xP(x) = ∀x¬P(x)
- 量词辖域扩展/收缩律：
- ∀x(P(x) ∧ S) = ∀xP(x) ∧ S；析取同理，存在量词同理。
- ∀x(P(x) → S) = ∃xP(x) → S；存在量词同理。
- ∀x(S → P(x)) = S → ∀xP(x)；存在量词同理。
- 量词分配律：
- ∀x(P(x) ∧ Q(x)) = ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
- ∃x(P(x) ∨ Q(x)) = ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
- 无法用量词分配的情况：
- ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) = ∀x(∀y)(P(x) ∨ Q(y))
- ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x) = ∃x∃y(P(x) ∧ Q(y))
3.4. 范式
- 前束范式：将¬内移到原子公式前，量词在公式最前端。利用谓词公式等价关系将一个公式转化成前束范式。
ps. 根据量词的辖域可以利用改名规则
3.5. 推理
推理形式
- 判定定理：类比于命题推理，A₁，A₂，…，An → B为永真式，当且仅当A₁，A₂，…，An ⇒ B有效。
推理定律
- 命题的推理定律仍适用于谓词推理
- 每个谓词逻辑的基本等值式，都可以推出两条推理定律，如由¬∀xP(x) = ∃x¬P(x)：
¬∀xP(x) ⇒ ¬P(x)；¬P(x) = ¬∀xP(x) - 两条特殊的定律：
- ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) ⇒ ∀x(P(x) ∨ Q(x))
- ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ⇒ ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x) 合取的存在推出存在的合取
推理规则（自然推理系统）
- 命题中的所有推理规则
- UI（全称消去规则，用于消去全称量词）：∀xP(x) ⇒ P©，c为任意个体常量；或∀xP(x) ⇒ P(y)，不产生歧义即可。
- EI（存在消去规则）：
- ∃xP(x) ⇒ P©，c为使P©为真的特定个体常量
- ∃xP(x, y) ⇒ P(f(y), y)
- UG（全称引入规则，用于引入全称量词）：P(y) ⇒ ∀xP(x)，不产生歧义即可
- EG（存在引入规则）：P© ⇒ ∃xP(x)，c为特定个体常量；或P(x) ⇒ ∃yP(y)
- 推理过程：消去量词；命题推理；如果结论中有量词，则最后引入量词。
如果消去量词同时用到了UI和EI，先用EI，再用UI（因为EI中的个体常量必须满足P© = 1，若先用UI，得到的个体常量不一定满足该条件）。
若一个变量用EI规则消去量词，则其引入量词时只能用EG规则；而采用UI规则消去的，引入量词时UG和EG都可用。这是由规则的性质决定的。
4. 二元关系
4.1. 概念
有序对：<x, y>称为有序对，或序偶。
笛卡尔积：若有集合A，B，则集合A×B = {<x, y>|(x∈A)∧(y∈B)}是集合A与B的笛卡尔积。
笛卡尔积不满足交换律与结合律，但对并交运算满足分配律。
∅与任意集合的笛卡尔积都是空集。二元关系：要么是空集，要么是元素为有序对的集合，记为R。若<x, y>∈R，则记作xRy。A与B间关系的种类为2∣A∣⋅∣B∣2^{|A|\cdot|B|}2∣A∣⋅∣B∣，A上的关系的种类为2∣A∣²2^{|A|²}2∣A∣²。
R的定义域domR，值域ranR，域fldR = domR ∪ ranR；A称为前域，B为后域。几个重要关系：
- R = ∅，则R为空关系
- R = A×B，则R为A到B的全关系，记为EAE_{A}EA
- R = IAI_{A}IA = {<x, x>|x∈A}，则R为A上的恒等关系
关系表示：枚举、图形、关系矩阵（是布尔矩阵）
4.2. 关系运算
布尔矩阵运算：交∧、并∨、积⊙（矩阵乘法）
关系运算：
- 并∪、交∩、差-、补。
- 复合R ◦ S：<x, y> ◦ <y, z> = <x, z>，是从A到C的关系；R和S关系矩阵作布尔积运算，得到结果即为R ◦ S的关系矩阵。
- 逆R−1R^{-1}R−1：<x, y>变为<y, x>；R的关系矩阵转置即为R的逆。
- 限制 R ↑\uparrow↑ A = {<x, y> | x ∈ A ∧ xRy}
- 像 R[A] = ran(R | A)
运算性质：
- 复合运算结合律与同一律（IAI_{A}IA ◦ R = R ◦ IAI_{A}IA = R）
- 复合分配律：
- R ◦ (S ∪ T) = R ◦ S ∪ R ◦ T，左复合同理
- R ◦ (S ∩ T) ⊆ R ◦ S ∩ R ◦ T，左复合同理
- 逆运算：
- (R◦S)−1(R ◦ S)^{-1}(R◦S)−1 = S−1S^{-1}S−1 ◦ R−1R^{-1}R−1
- (R∪S)−1(R ∪ S)^{-1}(R∪S)−1 = R−1R^{-1}R−1 ∪ S−1S^{-1}S−1，交和差同理
- domR = ranR−1ranR^{-1}ranR−1，反之同理
- 幂运算：
- R⁰ = IAI_{A}IA
- Rm+nR^{m+n}Rm+n = RmR^{m}Rm ◦ RnR^{n}Rn
- (Rm)n(R^{m})^{n}(Rm)n = RmnR^{mn}Rmn
- 收敛性
4.3. 关系性质
五个性质
一个关系能同时具有多个性质，如IAI_{A}IA同时具有自反性，对称性，反对称性，传递性。
性质的保守性
- R，S自反，R−1R^{-1}R−1、R ∩ S、R ∪ S、R ◦ S也自反
- R，S反自反，R−1R^{-1}R−1、R ∩ S、R ∪ S、R - S也反自反
- R，S对称，R−1R^{-1}R−1、R ∩ S、R ∪ S、R - S也对称
- R，S反对称，R−1R^{-1}R−1、R ∩ S、R - S也反对称
- R，S传递，R−1R^{-1}R−1、R ∩ S也传递
闭包
- 定义：为使关系R满足所需要的性质，向R中尽可能少的添加元素，得到关系R’，使R’满足该性质，R’即为闭包。自反闭包记为r®，对称闭包记为s®，传递闭包记为t®。
- 用关系运算求闭包：
- r® = R ∪ IAI_{A}IA
- s® = R ∪ R−1R^{-1}R−1
- t®利用上述收敛性公式求
4.4. 特殊关系
等价关系
等价关系：A上自反，对称，传递的关系。
等价类：设R为A上的一个等价关系，x∈R，则满足{y | y ∈ A ∧ xRy}的集合称为x的等价类，记为[x]R[x]_{R}[x]R，可简记为[x]。即x的等价类就是所有满足xRy的，y的集合。
等价类的性质：
- [x]非空
- 若xRy，则[x] = [y]；否则[x] ∩ [y] = ∅
- ∪{[x] | x ∈ A} = A
商集：{[x]R[x]_{R}[x]R | x ∈ A}，称为A关于R的商集，记作A / R。即A所有等价类的集合。
集合的划分：将集合的元素划分，商集就是对A的一个划分，也称由R导出的等价划分。
一个集合有多种划分，不同等价关系导出不同的划分；且可由划分确定一个等价关系，假设有划分{S₁, S₂, …, SnS_{n}Sn}，则对应的等价关系为{(S₁ × S₁) ∪ (S₂ × S)₂ ∪ … ∪ (Sn×SnS_{n} × S_{n}Sn×Sn)}。
偏序关系
偏序关系：A上自反，反对称，传递的关系R，记为≼，并将<a, b> ∈ ≼记为a ≼ b，<A, ≼>称为偏序集。该关系一般用于排序，因此是反对称的，典型的关系就是实数集上的小于等于关系。
可比：x ≼ y或y ≼ x则称x与y可比。
覆盖：当x ≼ y，且不存在z，使得x ≼ z ≼ y，则称y覆盖x。
哈斯图：本质就是采用一些规则化简关系图
- 取消每个点自环（因为自反性）
- 取消由传递性产生的边
- 重新排列每条边，使得箭头方向均朝上，然后去掉箭头（因为反对称性）
特殊元素：设<A, ≼>是偏序集，B是A的一个子集
- 最大元与最小元：∃b ∈ B，对∀x ∈ B，都有x ≼ b（b ≼ x），则称b为最大元（最小元）。
必须与集合内其他元素都可比，且最大或最小。
从哈斯图上看，单独的最高点（最低点）才是最大元（最小元）。 - 极大元与极小元：∃b ∈ B，对∀x ∈ B，不存在b ≺ x（x ≺ b），则称b为极大元（极小元）。
在与其可比元素构成的集合内最大或最小。
从哈斯图上看，只要处于子集的最高点（最低点），就都是极大元（极小元）。 - 上界与下界：∃a ∈ A，对∀x ∈ B，都有x ≼ a（a ≼ x），则称a为B的上界（下界）。a可以有多个。
- 上确界和下确界：上界（下界）的最小元（最大元），它们是唯一的。
- 最大元与最小元：∃b ∈ B，对∀x ∈ B，都有x ≼ b（b ≼ x），则称b为最大元（最小元）。
拟序关系：A上反自反，反对称，传递的关系，用≺表示
全序关系：若偏序集<A, ≼>任意的x和y都可比，则称“≼”为全序关系，<A, ≼>为全序集，或线序集（因为哈斯图的元素排成一条线）
4.5. 函数
定义：设f是集合A到B的关系，且对∀x ∈ A，都存在惟一的y ∈ B，使得<x, y> ∈ f，则称f是A到B的函数，记为 f: A → B。
定义域（原像）domf = A；值域（像）ranf = B。
函数的两个前提：domf中任意元素都有像；domf中同一元素有且仅有一个像。
关系与函数的区别：
区别 种数 基数 第一元素 关系 2∥A∥×∥B∥2^{\|A\|×\|B\|}2∥A∥×∥B∥ 0 ~ |A|×|B| 可重复 函数 ∥B∥∥A∥\|B\|^{\|A\|}∥B∥∥A∥ |A| 不可重复 特殊函数：
- 特征函数：设A为集合，对∀A’ ⊆ A，A’的特征函数χA′:A→{0,1}\chi_{A'}:A\to\{0,1\}χA′:A→{0,1}定义为
χA′(a)={1,a∈A′0,a∈A−A′\chi_{A'}(a)= \begin{cases} 1,\qquad a\in A' \\ 0,\qquad a\in A-A' \end{cases} χA′(a)={1,a∈A′0,a∈A−A′
- 特征函数：设A为集合，对∀A’ ⊆ A，A’的特征函数χA′:A→{0,1}\chi_{A'}:A\to\{0,1\}χA′:A→{0,1}定义为
函数类型：
- 单射：x与y一一对应；单射 ⇔ 对∀x₁，x₂ ∈ A，若x₁ ≠ x₂，则f(x₁) ≠ f(x₂)。
- 满射：ranf = B；满射 ⇔ 对∀y ∈ B，一定∃x ∈ A，使得f(x) = y。
- 双射：f单射且满射。
函数运算
- 复合：设有函数 f: A → B，g: B → C，则 f ◦ g: A → C。
- f ◦ g(x) 也记为g(f(x))
- dom(f ◦ g) = domf；ran(f ◦ g) = ranf
- 复合运算不满足交换律，但满足结合律
- 复合的保守性：相同类型的函数复合后还是同一类型
- 逆：f−1f^{-1}f−1: B → A
- f−1f^{-1}f−1存在 ⇔ f是双射函数。（其实就是高数上的严格单调函数必有反函数）
- f◦f−1=IAf ◦ f^{-1} = I_{A}f◦f−1=IA；f−1◦f=IBf^{-1} ◦ f = I_{B}f−1◦f=IB
- B上A：从A到B全体函数的集合，记为BAB^{A}BA
- 复合：设有函数 f: A → B，g: B → C，则 f ◦ g: A → C。
5. 图（G = <V, E>）
5.1. 概念
- 分类：有向图和无向图，多重图和线图（简单图是无环的线图），赋权图和无权图。
环就是自环；圈是回路
- 各种图
- 零图：孤立结点组成的图。
- 平凡图：只有一个结点的零图。
- 子图：G₁ = <V₁, E₁>，V₁ ⊆ V，E₁ ⊆ E，则G₁为G的子图。
- 生成子图：V₁ = V，E₁ ⊆ E
- 导出子图：V₁ ⊆ V，E₁是以V₁中两个点为端点的边集
- 完全图：任意两点都有边相连，记为KnK_{n}Kn（有向情况下为两条相反的边）。
- 补图：设简单图G = <V, E>，完全图G’ = <V, E₁>，则补图G₁ = <V, E₁ - E>。即从完全图的边集中删去简单图的边集。
- 同构图：若存在双射函数 f: V → V’，且对应边集相同，则称为同构图，记为G ≌ G’。
简单而言就是一个图顶点挪动位置后形成的新图，都算同构图。
- 正则图：对∀v ∈ V，都有d(v) = k，则称G为 k-正则图。
- 竞赛图：为无向完全图的每条边分配方向所形成的图。
- 轮图：在n-1阶的圈内放置一个顶点，与各顶点相连，组成的就是n阶轮图，记为WnW_{n}Wn
- 度：顶点的度记为d(v)，出度为d+d^{+}d+(v)，入度为d−d^{-}d−(v)。
- 最大度：Δ(G) = max{d(V) | v ∈ V}
- 最小度：δ(G) = min{d(V) | v ∈ V}
- 最大出度：Δ+^{+}+(G)；最大入度，最小出/入度同理。
- 度数序列：设V = {v₁, v₂, …, vnv_{n}vn}，则(d(v₁), d(v₂), …, d(vnv_{n}vn))为度数序列。
- 握手定理：无向图的总度数为 2|E|；有向图总度数为 2|E|，且总入度和总出度相同，为|E|。
推论：一个图中奇度顶点的个数为偶数。
5.2. 性质
通路与回路：长度为所含边的数量
简单通路/回路：通路中的所有边互不相同；否则为复杂通路/回路。
初级通路/回路：通路中的所有边互不相同，结点也互不相同（回路不考虑两个端点）。
判断两顶点间是否有通路：设G的邻接矩阵为A，则 AnA^{n}An 的元素 aija_{ij}aij 表示 viv_{i}vi 到 vjv_{j}vj 长度为 n 的通路数量。主对角线上的即为回路。
可达性：无向图的可达关系是等价关系，有向图的不具备对称性，所以不是等价关系
在n阶图G中，若 viv_{i}vi 与 vjv_{j}vj 间存在通路，则该两点间存在长度 ≤ n - 1 的通路。
在n阶图G中，若 viv_{i}vi 存在到自身的回路，则存在长度 ≤ n 的通路。
推论：条件与上述一致，则一定会存在 ≤ n - 1 的基本通路/ ≤ n 的基本回路。根据上述定理，若是想知道 viv_{i}vi 到 vjv_{j}vj 的可达性，则可通过可达矩阵 P = A ∨ A² ∨ … ∨ AnA^{n}An（其中A的幂运算是布尔积运算）判断，若 pijp_{ij}pij = 1，则从viv_{i}vi 到 vjv_{j}vj 是可达的。
无向图的连通性：
- 连通分支：由可达关系的每个等价类导出的子图称为G的一个连通分支，连通分支数记为p(G)。换言之，一个图可能由多个彼此不连通的连通图组成，每个这样的连通图就是一个连通分支。
- 点割集与割点：从无向图 G 中尽可能少的删去点，使新图 G’ 的 p(G’) > p(G)，这样的点的集合就称为点割集；如果该集合中只有一个点，则这个点称为割点。
分割方法有多种，但每种分割方法的点割集基数都要是最小的。
- 边割集与割边（桥）：类似于点割集和割点。
删点要将与其相连的边一起删去，删边只去掉边就行。
- 点连通度：κ(G) = min{|V| | V为点割集或 G - V 为平凡图}；若κ(G) ≥ k，则称 G 为 k-连通图。
- 边连通度：λ(G) = min{|E| | E为边割集}；若λ(G) ≥ k，则称G为k边-连通图。
平凡图的点割集和边割集都为∅，故κ(G) = λ(G) = 0;
完全图没有点割集，当其删去 n - 1 个结点后变为平凡图，故κ(G) = n - 1，且易知λ(G) = n - 1；
若G为非连通图，因为其本身是非连通的，所以不用删除点或边，故规定非连通图的κ(G) = λ(G) = 0。
κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)有向图的连通性：
- 弱连通图（连通图）：将有向边转化为无向边，若图为连通图，则称有向图G为弱连通图或连通图。
- 单向连通图：若G中任意一对结点之间，至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称G为单向连接图。
- 强连通图：G中任意一对结点相互可达。
- 连通图判定：
- 强连通图 ⇔ G中存在一条经过所有结点的回路
- 单向连通图 ⇔ G中存在一条经过所有结点的通路
- 强连通图 ⇒ 单向连通图 ⇒ 弱连通图
- 邻接矩阵判定：
- 强连通图：邻接矩阵P的所有元素均为1
- 单向连通图：P ∨ PTP^{T}PT 除主对角元素外都为1
- 弱连通图：以A ∨ ATA^{T}AT为邻接矩阵求得的可达矩阵P’的元素全为1
- 连通分支：设G’为G的子图，当G’是最大的弱/单向/强连通子图，则称G’是G的弱/单向/强连通分支。
弱/单向/强连通分支都具有极大性，即加入新的结点或边后就不再是弱/单向/强连通的了
5.3. 欧拉图
定义：图G中不含孤立节点，若存在一条通路/回路，经过G中每条边一次且仅一次，则称该通路/回路为欧拉通路/回路，具有欧拉通路的图被称为半欧拉图，具有欧拉回路的图被称为欧拉图。
平凡图就是平凡欧拉图。
欧拉图判定：
- 无向半欧拉图：无向图G存在欧拉通路 ⇔ G是连通的且恰有2个奇度数结点。
- 无向欧拉图：G存在欧拉回路 ⇔ G是连通的且结点均为偶度数结点。
- 有向半欧拉图：有向图G存在欧拉通路 ⇔ G是连通的，且恰有两个奇度数结点，一个出度比入度大1（起点），另一个出度比入度小1（终点），其余结点出度入度相同。
- 有向欧拉图：G存在欧拉回路 ⇔ G是连通的，且所有结点出度和入度相同。
求无向图欧拉回路——Fleury算法：依次选边，每选一条边就从图中删去得到图G’，选取条件：① 与上一条边相连；② 除非别无选择，不然不能选G’的割边。
5.4. 哈密顿图
定义：图G存在一条通路/回路，经过G中每个结点一次且仅一次，则称该通路/回路为哈密顿通路/回路，具有哈密顿通路的图被称为半哈密顿图，具有哈密顿回路的图被称为哈密顿图。
平凡图就是平凡哈密顿图。
哈密顿图（无向）判定必要条件：
- 哈密顿图必要条件：设无向图G = <V, E>是哈密顿图，则对任意V₁ ⊆ V且V₁非空，均有p(G - V₁) ≤ |V₁|。
- 半哈密顿图必要条件：p(G - V₁) ≤ |V₁| + 1。
哈密顿图（无向）判定充分条件：
- 半哈密顿图：设G为n阶简单无向图，若对G中任意两个不相邻的点u，v，均有d(U) + d(v) ≥ n - 1，则G中存在哈密顿通路。
- 哈密顿图：若d(U) + d(v) ≥ n，则存在哈密顿回路。
不满足充分条件也不能证明G不是哈密顿图，用观察法
5.5. 二分图（二部图/偶图）
定义：设无向图G = <V, E>，若V能划分为两个子集V₁，V₂，且E中任意一条边，一端属于V₁，另一端属于V₂，则称G为二分图。若V₁中任意一结点与V₂中所有结点相连，则称为完全二部图，记为K∣V₁∣,∣V₂∣K_{|V₁|, |V₂|}K∣V₁∣,∣V₂∣。
二分图判定：G是二分图 ⇔ G中所有回路长度都为偶数
5.6. 平面图
定义：能够把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，且边互不交叉的图。
面与次数：
- 面：由边围成的，内部不包含边与结点的区域，记为RiR_{i}Ri。
- 边界：构成面的诸边
- 次数：边界的长度，记为deg(Ri)deg(R_{i})deg(Ri)；次数和 = 边总数的二倍
- 有限面与无限面：面积有限的为有限面，无限面同理
极大平面图：设G是n阶（n ≥ 3）m边简单连通平面图，若在任意两不相邻的结点间加入边就会破坏G的平面性，则称G是极大平面图。
性质：
① G不存在割边；
② G每个面次数都是3（充要条件）；
③ m = 3n - 6极小非平面图：删除任一条边都会变成平面图的图。与K₅和K₃,₃同胚的都是极小非平面图。
欧拉公式：设G是n个顶点，m条边，r个面的连通平面图，则有n - m + r = 2。
推论一：G是n阶（n ≥ 3）m边简单连通平面图 ⇒ m ≤ 3n -6
推论二：G是(n, m)的简单连通平面图，若每个面的次数至少为k（k ≥ 3），则m ≤ k/(k - 2) * (n - 2)。
推论三：对有k个连通分支的平面图，有n - m + r = k + 1。
推论一即为推论二 k = 3 时的特例。这两个推论通常都用于否定一个图是平面图。同胚：如果两个图同构，或在反复插入或消去2度结点后同构，则称这两图同胚。
边的收缩
库拉托夫斯基定理：
- G是平面图 ⇔ G的任意子图都不与K₅和K₃,₃同胚。
- G是平面图 ⇔ G的任意子图都不能收缩为K₅和K₃,₃。
一般用于证明非平面图。证平面图通过画出平面嵌入。
5.7. 对偶图
定义：设有平面图G，在G的每个面中指定一个新的结点，对两个面的公共边，指定一条新边与其相交，这些新点和新边就构成了对偶图。
设(n, m)且有r面的连通平面图G的对偶图为G*，G*的顶点n*，边m*，面r*分别为：
- n* = r
- m* = m
- r* = n（对非连通图的对偶图，r* = n - k + 1）
5.8. 最短路径算法
- Dijkstra：用于计算一个点到其他点的最短路径，过程如下：
- 初始化起始点到各点的距离，不可直接到达的点设为∞，初始点自身为0，其余点都设为未访问。
- 选取未访问点中最近的点，将其设为已访问，再根据该点去更新到其他点的最短距离。
- 重复第二步，直到访问所有点。
- 旅行商问题（NP难问题）：找到最短的哈密顿回路，目前只能通过枚举哈密顿回路比较大小来求解。
6. 树
6.1. 最小生成树
- Kruskal算法：将边排序，找能连接两个连通分支的最小边
- Prim算法：从点到点，找到最短边。
6.2. 树的遍历
- 前序遍历：对应前缀表达式（波兰符号表达式），从右到左扫描
- 中序遍历：还原算式需要加括号，否则有二义性
- 后序遍历：对应后缀表达式（逆波兰符号表达式），从左到右扫描
6.3. 哈夫曼编码
前缀码：不存在能作为其他编码前缀的编码，这样一组编码就是前缀码。
最优树：权×路径长度的和最小的树
Huffman算法：构造哈夫曼树
- 令S = {w₁, w₂, …, wnw_{n}wn}
- 找到S中权重最小的两个结点，将它们作为左右子节点组成一棵树，根节点的权重为它们的和
- 将根节点放回到S中，重复2，3操作，直到S为空
7. 代数系统
7.1. 二元运算及其性质
二元运算定义：设有集合S，函数 f: S × S → S称为S上的二元运算。二元运算应满足函数的前提，dom f = S × S，且像无二义性。
一元运算定义：设有集合S，函数 f: S → S称为S上的一元运算。
运算性质：
- 交换律：设 ◦ 为S上的二元运算，若对任意x，y ∈ S都有 x ◦ y = y ◦ x，则称运算◦在S上满足交换律。
- 结合律：同上，(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
- 幂等律：x ◦ x = x
- 分配律：x * (y ◦ z) = (x * y) ◦ (x * z)，则称 * 对 ◦ 是可分配的
- 吸收率：x * (x ◦ y) = x，x ◦ (x * y) = x
- 单位元：左右单位元相同时则统一称为单位元，记为e，且惟一。
el◦x=xe_{l} ◦ x = xel◦x=x（左单位元）
x◦er=xx ◦ e_{r} = xx◦er=x（右单位元） - 零元：左右零元相同时则统一称为零元，记为θ，且惟一。
θl◦x=θlθ_{l} ◦ x = θ_{l}θl◦x=θl（左零元）
x◦θr=θrx ◦ θ_{r} = θ_{r}x◦θr=θr（右零元） - 逆元：左右相同统称逆元，惟一
yl◦x=ey_{l} ◦ x = eyl◦x=e（左逆元）
x◦yr=ex ◦ y_{r} = ex◦yr=e（右逆元） - 消去律：
x ◦ y = x ◦ z 且 x ≠ θ，则 y = z（左消去）
y ◦ x = z ◦ x 且 x ≠ θ，则 y = z（右消去）
7.2. 代数系统
定义：非空集合S和S上的k个一元或二元关系f₁, f₂, …, fkf_{k}fk组成的系统称为代数系统，简称代数，记作<S, f₁, f₂, …, fkf_{k}fk>。
同类型的代数系统：两个代数系统中运算个数相同（一元二元个数都相同），代数常数个数也相同（如零元，单位元等）
子代数系统：设V = <S, f₁, f₂, …, fkf_{k}fk>是代数系统，B ⊆ S，若B对V中运算都是封闭的，且与S都含有相同的代数常数，则称<B, f₁, f₂, …, fkf_{k}fk>是V的子代数系统，简称子代数，可以将子代数直接记为B。
积代数：设V₁ = <A, ◦>和V₂ = <B, *>是同类型的代数系统，◦与*为二元运算，则在集合A × B上定义二元运算 · ，∀<a₁, b₁>，<a₂, b₂> ∈ A × B，有：
<a₁, b₁> · <a₂, b₂> = <a₁ ◦ a₂, b₁ * b₂>
称V = <A × B, ·>为V₁与V₂的积代数，记作V₁ × V₂；V₁，V₂也被称为V的因子代数。
7.3. 同态与同构
同态：设V₁ = <A, ◦>和V₂ = <B, *>是同类型的代数系统，若有f: A → B，且∀x，y ∈ A，有：
f(x ◦ y) = f(x) * f(y)
则称f是V₁到V₂的同态映射，简称同态。同构：同态根据f的类型分为单同态，满同态和同构。若f: V → V同态，则分为单自同态，满自同态和自同构。
8. 群
8.1. 性质与定义
半群：设V = <S, ◦>是代数系统，◦为二元运算，如果◦可结合，则称V为半群。
独异点：设V为半群，若e ∈ S是关于◦的单位元，则称V为独异点。
群：设V是独异点，若对∀a ∈ S都有a−1a^{-1}a−1 ∈ S，则称V是群，通常记作G。若
若群G是有限集，则G为有限群，否则为无限群。群G的基数被称为群G的阶。
只含单位元的群叫平凡群。
若群G中的二元运算可交换，则称G为交换群。群的实例：<Z, +>，<R, +>，<Q, +>，复数加群<C, +>，模n整数加群<ZnZ_{n}Zn, ⊕>（ZnZ_{n}Zn = {0, 1, …, n - 1}）
元素幂运算：设G是群，a ∈ G，则a的n次幂：
- n = 0，e
- n > 0，an−1a^{n - 1}an−1 a
- n < 0，(a−1)−n(a^{-1})^{-n}(a−1)−n
半群：n > 0；独异点：n ≥ 0
设G是群，a ∈ G，使得aka^{k}ak = e成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a| = k，也称a为k阶元。如不存在k，则称a为无限阶元。群的幂运算：
- (a−1)−1(a^{-1})^{-1}(a−1)−1 = a
- (ab)−1(ab)^{-1}(ab)−1 = b−1a−1b^{-1} a^{-1}b−1a−1
- G为交换群时，(ab)n(ab)^{n}(ab)n = anbna^{n} b^{n}anbn
- aman=am+n;(am)n=amna^{m}a^{n}=a^{m+n};(a^{m})^{n}=a^{mn}aman=am+n;(am)n=amn
群的性质：
- 群满足消去律
- 设a ∈ G，且|a| = r，则有aka^{k}ak = e当且仅当 r|k（r整除k）；亦有|a−1a^{-1}a−1| = |a|
9. 组合计数
9.1. 基本计数原则
- 加法原则：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，若A和B的产生方式没有重叠，则A或B的产生方式有 m + n 种。
- 乘法原则：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，若A与B的产生方式相互独立，则A与B的产生方式有 mn 种。
- 鸽巢原理：将k + 1个物体放入k个盒子中，则至少有一个盒子有2个或以上的物体。
- 广义鸽巢原理：将N个物体放入k个盒子中，则至少有一个盒子有⌈N / k⌉（向上取整）个物体。
- 重要思想：一一对应，数学归纳法
例：从1到24中选取5个互不相邻的数字，一共有多少种选法？
证：设从中选的五个数为{i1,i2,...,i5i_{1}, i_{2}, ..., i_{5}i1,i2,...,i5}，其中i1<i2<...<i5i_{1} < i_{2} < ... < i_{5}i1<i2<...<i5，且ij≠ij+1i_{j} ≠ i_{j + 1}ij=ij+1，j = 1, 2, 3, 4。令kj=ij−j+1,j=1,2,3,4,5k_{j} = i_{j} - j + 1, j = 1, 2, 3, 4, 5kj=ij−j+1,j=1,2,3,4,5，显然ij与kji_{j}与k_{j}ij与kj是一一对应的，kjk_{j}kj恰好为{1, 2, …, 20}中取5个数的组合，故该题答案为C(20, 5)
9.2. 排列组合
- n元集排列：P(n, r) = n!(n−r)!\frac{n!}{(n - r)!}(n−r)!n!
环排列：P(n, r) / r
- n元集组合：C(n, r) = n!(n−r)!r!\frac{n!}{(n - r)! r!}(n−r)!r!n!
- C(n, r) = nr\frac{n}{r}rn C(n - 1, r - 1)
- C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)（杨辉三角/Pascal公式）
在求和或化简时可用于归并相关的项
- 多重集全排列（r = n）：多重集即为元素重复出现的集合
- 多重集组合：
9.3. 二项式定理与组合恒等式
- 二项式定理
- 多项式定理
- 组合恒等式
- C(n,k)=C(n,n−k)C(n, k) = C(n, n - k)C(n,k)=C(n,n−k)
- C(n,k)=nkC(n−1,k−1)C(n, k) = \frac{n}{k} C(n - 1, k - 1)C(n,k)=knC(n−1,k−1)
- C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)
- ∑k=0nC(n,k)=2n\sum_{k = 0}^{n} C(n, k) = 2^{n}∑k=0nC(n,k)=2n
- ∑k=0n(−1)kC(n,k)=0\sum_{k = 0}^{n} (-1)^{k} C(n, k) = 0∑k=0n(−1)kC(n,k)=0
- ∑l=0nC(l,k)=C(n+1,k+1)\sum_{l = 0}^{n} C(l, k) = C(n + 1, k + 1)∑l=0nC(l,k)=C(n+1,k+1)
- 证：等式右边为从n+1个元素中取k+1个元素的子集；可以将该k+1元子集分为如下n+1类：
第1类：子集中含第一个元素，剩下k个在之后的元素中取
第2类：子集中含第二个元素，不含之前的元素，剩下的k个在之后元素中取
…
第n+1类：子集中含第n + 1个元素，不含之前的元素，剩下的k个在空集中取
以上n+1类的和即为等式的左边。
- 证：等式右边为从n+1个元素中取k+1个元素的子集；可以将该k+1元子集分为如下n+1类：
- ∑k=0rC(m,k)C(n,r−k)=C(m+n,r)r≤min{n,m}\sum_{k = 0}^{r} C(m, k) C(n, r - k) = C(m + n, r)\qquad r \le min\{n, m\}∑k=0rC(m,k)C(n,r−k)=C(m+n,r)r≤min{n,m}
- ∑k=0nC(m,k)C(n,k)=C(m+n,m)\sum_{k = 0}^{n} C(m, k) C(n, k) = C(m + n, m)∑k=0nC(m,k)C(n,k)=C(m+n,m)
9.4. 组合计数模型
- 集合有序选取：集合排列
- 集合无序选取：集合组合
- 多重集有序选取：多重集的排列
- 多重集无序选取：多重集的组合
- 不定方程：x1+x2+...+xk=rx_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = rx1+x2+...+xk=r
- xix_{i}xi为非负整数时，解的个数为C(r + k - 1, r)
- xix_{i}xi为正整数时，解的个数为C(r - 1, k - 1)
- 非降路径：从(a, b)出发到(m, n)的一条折线，由m - a + n - b次移动组成，每次只能向右或向上。
从(a, b)到(m, n)，有C(m + n - a - b, m - a)条路径
9.5. 递推方程
常系数线性递推方程（类似于高数中的常微分方程）
- 齐次：由特征方程xk+1+a1xk+...+ak=0x^{k+1}+a_{1}x^{k}+...+a_{k}=0xk+1+a1xk+...+ak=0求出特征根q1,q2,...,qkq_{1},q_{2},...,q_{k}q1,q2,...,qk。
- 特征根都为单根时：通解H(n)=c1q1n+c2q2n+...+ckqknH(n)=c_{1}q_{1}^{n}+c_{2}q_{2}^{n}+...+c_{k}q_{k}^{n}H(n)=c1q1n+c2q2n+...+ckqkn，将给定初值带入到通解中，求出c1,c2,...,ckc_{1},c_{2},...,c_{k}c1,c2,...,ck。
- 特征根为重根时：若qiq_{i}qi为eie_{i}ei重根，则有通解H(n)=∑i=0k(ci1+ci2n+...+cieinei−1)qinH(n)=\sum_{i=0}^{k}(c_{i1}+c_{i2}n+...+c_{ie_{i}}n^{e_{i}-1})q_{i}^{n}H(n)=∑i=0k(ci1+ci2n+...+cieinei−1)qin，同样带入初值求待定系数。
- 非齐次：先求出齐次情况下的通解H(n)‾\overline{H(n)}H(n)，再根据非齐次情况的求解方法求出特解H*(n)，非齐次递推方程的通解H(n)=H(n)‾+H∗(n)H(n)=\overline{H(n)}+H^{*}(n)H(n)=H(n)+H∗(n)。
- f(n)为n的t次多项式时：H∗(n)=P1nt+P2nt−1+...+Pt+1H^{*}(n)=P_{1}n^{t}+P_{2}n^{t-1}+...+P_{t+1}H∗(n)=P1nt+P2nt−1+...+Pt+1。
特别注意：若递推方程的特征根为1，则要提高特解的幂次，此时H∗(n)=P1nt+1+P2nt+...+Pt+1nH^{*}(n)=P_{1}n^{t+1}+P_{2}n^{t}+...+P_{t+1}nH∗(n)=P1nt+1+P2nt+...+Pt+1n。
- f(n)为AβnA\beta^{n}Aβn形式：若β不是特征根，则H∗(n)=PβnH^{*}(n)=P\beta^{n}H∗(n)=Pβn；若β是e重特征根，则为PneβnPn^{e}\beta^{n}Pneβn。
- 将特解带回到递推方程，求出各待定系数。
- 最后将初值代入H(n)中，求得H(n)‾\overline{H(n)}H(n)中各待定系数的值。
- f(n)为n的t次多项式时：H∗(n)=P1nt+P2nt−1+...+Pt+1H^{*}(n)=P_{1}n^{t}+P_{2}n^{t-1}+...+P_{t+1}H∗(n)=P1nt+P2nt−1+...+Pt+1。
- 齐次：由特征方程xk+1+a1xk+...+ak=0x^{k+1}+a_{1}x^{k}+...+a_{k}=0xk+1+a1xk+...+ak=0求出特征根q1,q2,...,qkq_{1},q_{2},...,q_{k}q1,q2,...,qk。
其他形式递推方程：
换元法：通过换元转变回常系数线性递推方程。
- 例：
{W(n)=2W(n/2)+n−1,n=2kW(1)=0\begin{cases} W(n)=2W(n/2)+n-1,n=2^{k} \\ W(1)=0 \end{cases} {W(n)=2W(n/2)+n−1,n=2kW(1)=0
将n=2kn=2^{k}n=2k代入，有W(2k)=2W(2k−1)+2k−1W(2^{k})=2W(2^{k-1})+2^{k}-1W(2k)=2W(2k−1)+2k−1，令H(k)=W(2k)H(k)=W(2^{k})H(k)=W(2k)，则有H(k)=2H(k−1)+2k−1H(k)=2H(k-1)+2^{k}-1H(k)=2H(k−1)+2k−1，用公式法求解即可。
- 例：
迭代归纳法：根据递推式不断将式子展开，展开到初值项为止，然后对式子进行化简，最后将结果代入到原递推方程验证。
- 例：与上面同一例子
W(n)=2W(2k−1)+2k−1=2[2W(2k−2)+2k−1−1]+2k−1=22W(2k−2)+2k−2+2k−1=22[2W(2k−3)+2k−2−1]+2k−2+2k−1=23W(2k−3)+2k−22+2k−2+2k−1=…=2kW(1)+k⋅2k−(2k−1+2k−2+⋯+2+1)=k⋅2k−2k+1=nlogn−n+1\begin{aligned} &W(n)=2W(2^{k-1})+2^{k}-1 \\ &=2[2W(2^{k-2})+2^{k-1}-1]+2^{k}-1 \\ &=2^{2}W(2^{k-2})+2^{k}-2+2^{k}-1 \\ &=2^{2}[2W(2^{k-3})+2^{k-2}-1]+2^{k}-2+2^{k}-1 \\ &=2^{3}W(2^{k-3})+2^{k}-2^{2}+2^{k}-2+2^{k}-1 \\ &=\dots \\ &=2^{k}W(1)+k \cdot 2^{k}-(2^{k-1}+2^{k-2}+\dots+2+1) \\ &=k \cdot 2^{k} - 2^{k} + 1 \\ &=n\log{n} - n + 1 \end{aligned} W(n)=2W(2k−1)+2k−1=2[2W(2k−2)+2k−1−1]+2k−1=22W(2k−2)+2k−2+2k−1=22[2W(2k−3)+2k−2−1]+2k−2+2k−1=23W(2k−3)+2k−22+2k−2+2k−1=…=2kW(1)+k⋅2k−(2k−1+2k−2+⋯+2+1)=k⋅2k−2k+1=nlogn−n+1
迭代归纳法只适用于一阶递推公式，对于非一阶递推公式，可以先用差消法转换成一阶递推公式，如：
{Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)D1=0,D2=1\begin{cases} D_{n}=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \\ D_{1}=0,D_{2}=1 \end{cases} {Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)D1=0,D2=1
该式为二阶递推式，通过差消法，有：
Dn−nDn−1=−[Dn−1−(n−1)Dn−2]=…=(−1)n−2[D2−2D1]=(−1)n−2\begin{aligned} &D_{n}-nD_{n-1}=-[D_{n-1}-(n-1)D_{n-2}]=\dots \\ &=(-1)^{n-2}[D_{2}-2D_{1}]=(-1)^{n-2} \\ \end{aligned} Dn−nDn−1=−[Dn−1−(n−1)Dn−2]=…=(−1)n−2[D2−2D1]=(−1)n−2
从而得到一阶递推式：Dn=nDn−1+(−1)n−2D_{n}=nD_{n-1}+(-1)^{n-2}Dn=nDn−1+(−1)n−2
- 例：与上面同一例子
9.6. 生成函数
- ana_{n}an的生成函数：G(x)=∑n=0∞anxnG(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}G(x)=∑n=0∞anxn
- ana_{n}an的指数生成函数：Ge(x)=∑n=0∞anxnn!G_{e}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\frac{x^{n}}{n!}Ge(x)=∑n=0∞ann!xn
10. 补充知识点
- 特征函数
- 轮图
- 证明关系反对称：∀<x, y>，若当<x, y> ∈ R ∧ <y, x> ∈ R时，都有x = y，则R反对称。
- 设a，b不全为0，则存在整数x和y使得gcd(a, b) = ax + by。用辗转相除法倒推来求：
- 例：证294与65互素，并求出x，y使得294x + 65y = 1。
证：$294 = 4 \times 65 + 34 \
65 = 1 \times 34 + 31 \
34 = 1 \times 31 + 3 \
31 = 10 \times 3 + 1 \
3 = 3 \times 1
$
故gcd(294, 65) = 1，互素。又有：
1=31−10×3=31−10×(34−31)=11×31−10×34=11×(65−34)−10×34=11×65−21×34=11×65−21×(294−4×65)=95×65−21×294\begin{aligned} &1 = 31 - 10 \times 3 \\ &= 31 - 10 \times (34 - 31) \\ &= 11 \times 31 - 10 \times 34 \\ &= 11 \times (65 - 34) - 10 \times 34 \\ &= 11 \times 65 - 21 \times 34 \\ &= 11 \times 65 - 21 \times (294 - 4 \times 65) \\ &= 95 \times 65 - 21 \times 294 \end{aligned} 1=31−10×3=31−10×(34−31)=11×31−10×34=11×(65−34)−10×34=11×65−21×34=11×65−21×(294−4×65)=95×65−21×294
- 例：证294与65互素，并求出x，y使得294x + 65y = 1。
- 基本回路与基本割集：生成树中的定义
- 基本回路：设有无向连通图G，T是G的生成树，则T中的树枝加上一条弦构成的回路就叫基本回路。
- 基本割集：T中一条树枝对应一个基本割集，其中包含了该树枝，以及其所在基本回路的所有弦。
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