魔鬼训练Day2作业

作业4

令 A={1,2,5,8,9}\mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9\}A={1,2,5,8,9}, 写出 A\mathbf{A}A 上的 “模 2 同余” 关系及相应的划分.
R={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}\mathbf{R}=\{(a, b)\in\mathbf{A}\times\mathbf{A}\vert a \mod 2=b \mod 2\}R={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}
R={(2,2),(2,8),(8,2),(8,8),(1,1),(1,5),(1,9),(5,1),(5,5),(5,9),(9,1),(9,5),(9,9)}\mathbf{R} = \{(2, 2), (2, 8), (8, 2), (8, 8),(1, 1), (1, 5), (1, 9), (5, 1), (5, 5), (5, 9), (9, 1), (9, 5), (9, 9)\}R={(2,2),(2,8),(8,2),(8,8),(1,1),(1,5),(1,9),(5,1),(5,5),(5,9),(9,1),(9,5),(9,9)}
划分：P={{2,8},{1,5,9}}\mathcal{P} = \{\{2, 8\}, \{1, 5, 9\}\}P={{2,8},{1,5,9}}
A={1,2,5,8,9}\mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9\}A={1,2,5,8,9}, 自己给定两个关系 R1\mathbf{R}_1R1 和 R2\mathbf{R}_2R2, 并计算 R1R2\mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2R1R2, R1+\mathbf{R}_1^+R1+, R1∗\mathbf{R}_1^*R1∗.
给定 R1={(1,5),(1,8),(8,9)}\mathbf{R}_1 = \{(1, 5), (1, 8), (8, 9)\}R1={(1,5),(1,8),(8,9)}, R2={(2,9),(5,2),(8,2)}\mathbf{R}_2 = \{(2, 9), (5, 2), (8,2)\}R2={(2,9),(5,2),(8,2)}，则：
1)R1R2=R2∘R1={(1,2)}\mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2 = \mathbf{R}_2 \circ \mathbf{R}_1 = \{(1, 2)\}R1R2=R2∘R1={(1,2)}
2)R1={(1,5),(1,8),(8,9)}\mathbf{R}_1= \{(1, 5), (1, 8), (8, 9)\}R1={(1,5),(1,8),(8,9)};
R12={(1,9)}\mathbf{R}_1^2=\{(1, 9)\}R12={(1,9)};
R13=∅\mathbf{R}_1^3=\emptysetR13=∅;
R1+=⋃i=1∣A∣R1i={(1,5),(1,8),(8,9),(1,9)}\mathbf{R}_1^+= \bigcup_{i=1}^{|\mathbf{A}|}\mathbf{R}_1^{i}= \{(1, 5), (1, 8), (8, 9), (1, 9)\}R1+=⋃i=1∣A∣R1i={(1,5),(1,8),(8,9),(1,9)}
3)A0={(x,x)∣x∈A}\mathbf{A}^0=\{(x, x)|x \in \mathbf{A}\}A0={(x,x)∣x∈A}
R1∗\mathbf{R}_1^*R1∗ = R1+∪A0={(1,5),(1,8),(8,9),(1,9),(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}\mathbf{R}_1^+ \cup \mathbf{A}^0= \{(1, 5), (1, 8), (8, 9), (1, 9), (1, 1), (2, 2), (5, 5), (8, 8), (9, 9)\}R1+∪A0={(1,5),(1,8),(8,9),(1,9),(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}
查阅粗糙集上下近似的定义并大致描述.
粗糙集是用来处理不确定性的数学工具，三支决策的提出就是基于粗糙集的研究。粗糙集的上下近似就是指当一个集合不能用有效的等价关系被恰当分类时，就在现有的集合中找出跟它最像的两个分别作为上近似与下近似。上近似就是包含该集合的元素最小可定义集，下近似就是包含该集合元素的最大可定义集。

作业5

举例说明对函数的认识
函数是一种集合到集合的映射，即是某个参数随着一个或多个参数的变化而变化，如 y=x;z=x2+y+1y = x; z=x^2+y+1y=x;z=x2+y+1, yyy 与zzz 分别随着x;x,yx; x, yx;x,y 的变化而变化。
函数有定义域和值域，对于定义域的每个值，在值域中有且仅有一个值与其对应。当函数只有1个自变量时，称为一元函数，有两个自变量时，称为二元函数。

作业6

自己给定一个矩阵并计算其各种范数.
给定矩阵X=[15−23]\mathbf{X}=\begin{bmatrix}1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}X=[1−253]，则
l0l_0l0范数(非零个数)：∥X∥0=∣{(i,j)∣xij≠0}∣=4\|\mathbf{X}\|_0=|\{(i, j)|x_{ij}\neq0\}|=4∥X∥0=∣{(i,j)∣xij=0}∣=4
l1l_1l1范数(绝对值和)：∥X∥1=∑i,j∣xij∣=11\|\mathbf{X}\|_1= \sum_{i, j} |x_{ij}|=11∥X∥1=i,j∑∣xij∣=11
l2l_2l2范数(平方和)：∥X∥2=∑i,jxij2=39\|\mathbf{X}\|_2=\sqrt{\sum_{i, j}x_{ij}^2}=\sqrt{39}∥X∥2=i,j∑xij2=39
l∞l_{\infty}l∞范数(最大值)：∥X∥∞=max⁡i,j∣xij∣=5\|\mathbf{X}\|_{\infty}=\max_{i, j}|x_{ij}|=5∥X∥∞=i,jmax∣xij∣=5

作业7

解释推荐系统 2.1 中的优化目标
min⁡∑(i,j)∈Ω(f(xi,tj)−rij)2\min\sum_{(i,j)\in{\Omega}}(f(\mathbf{x}_i, \mathbf{t}_j)-r_{ij})^2min(i,j)∈Ω∑(f(xi,tj)−rij)2各符号及含义.
用户信息表：X=[x1,…,xn]T=[xij]n×du\mathbf{X}=[\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n]^{\rm{T}}=[x_{ij}]_{n\times{d_u}}X=[x1,…,xn]T=[xij]n×du, 每个用户 dud_udu 个属性。
商品信息表：T=[t1,…,tm]T=[tij]m×dt\mathbf{T}=[\mathbf{t}_1,\dots,\mathbf{t}_m]^{\rm{T}}=[t_{ij}]_{m\times{d_t}}T=[t1,…,tm]T=[tij]m×dt, 每个商品 dtd_tdt 个属性。
f:Rdu×Rdt→Rf:R^{d_u} \times R^{d_t} \to Rf:Rdu×Rdt→R : dud_udu 维属性用户与 dtd_tdt 维属性商品的所有组合映射到评分结果

xi\mathbf{x}_ixi: 用户属性的集合
tj\mathbf{t}_jtj: 商品属性的集合
rijr_{ij}rij: 基础数据
fff: 评分函数
Ω\OmegaΩ: 用户信息与商品信息的组合

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