题目描述

升级装备题，每升级一次消耗一颗宝石，从一级升至五级概率分别为80%，40%，30%，10%，升级失败会掉级，请问升至5级平均消耗多少宝石？

分析题目

令E_i为从i级升到5级需要数量的期望
从4级升级到5级的情况如下E4=0.1+0.9（1+E3）+0.1E5而E5=0，所以上式化简成E4=0.9E3+1进而推倒其他情况，可得如下：E1=0.8E2+0.2E1+1E2=0.4E3+0.6E1+1E3=0.3E4+0.7E2+1E4=0.9E3+1解得E1≈151.042\begin{aligned} & \\ &从4级升级到5级的情况如下 \\ & E_{4}=0.1+0.9（ 1+E_{3}）+0.1E_{5} \\ &而E_{5}=0，所以上式化简成E_{4}=0.9 E_{3}+1\\ &进而推倒其他情况，可得如下：\\ & E_{1}=0.8 E_{2}+0.2 E_{1}+1 \\ & E_{2} =0.4 E_{3}+0.6 E_{1}+1 \\ & E_{3} =0.3 E_{4}+0.7 E_{2}+1 \\ & E_{4}=0.9 E_{3}+1 \\ & 解得E_{1} \approx 151.042 & & \end{aligned} 从4级升级到5级的情况如下E4=0.1+0.9（1+E3）+0.1E5而E5=0，所以上式化简成E4=0.9E3+1进而推倒其他情况，可得如下：E1=0.8E2+0.2E1+1E2=0.4E3+0.6E1+1E3=0.3E4+0.7E2+1E4=0.9E3+1解得E1≈151.042

另有解法：这是个很典型的 Absorbing Markov Chains, 可以直接利用其性质求解。即求出状态转移矩阵P的fundamental matrix N. 答案就是N1所有元素的和.
面试中的概率题-数学期望: link
https://www.zhihu.com/question/25420139
拓展题https://www.zhihu.com/question/25304052

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