Hermite（埃尔米特）插值法 | 插值多项式+ 插值余项

Lagrange插值法、Newton插值法、逐次插值法、分段插值法，只要求插值多项式pn(x)p_n(x)pn(x)与被插值函数f(x)f(x)f(x)在插值节点处的函数值相等即可，即pn(xi)=f(xi)(i=0,1,⋯,n)p_n(x_i)=f(x_i)(i=0,1,\cdots,n)pn(xi)=f(xi)(i=0,1,⋯,n)。但这种插值不能完全反映出被插值函数的性态。在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在节点处的函数值相同，而且还要求插值函数与被插值函数在某些节点处的导数值，甚至高阶导数值也相同。按照这种插值条件所进行的插值称为Hermite插值。其中，最常见的是要求一阶导数值相同的插值。下面就来导出其插值多项式。

1. Hermite插值多项式

假设已知函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在插值节点xi(i=0,1,⋯,n)x_i(i=0,1,\cdots,n)xi(i=0,1,⋯,n)处的函数值为yi=f(xi)y_i=f(x_i)yi=f(xi)，一阶导数值为mi=f′(xi)(i=0,1,2,⋯,n)m_i=f'(x_i)(i=0,1,2,\cdots,n)mi=f′(xi)(i=0,1,2,⋯,n)，则HermiteHermiteHermite插值多项式H(x)H(x)H(x)满足：
{H(xi)=yi,H′(xi)=mi,i=0,1,⋯,n(1)\begin{cases} H(x_i)=y_i , \\ H'(x_i)=m_i, \quad i=0,1,\cdots,n \end{cases} \tag{1} {H(xi)=yi,H′(xi)=mi,i=0,1,⋯,n(1)
其几何意义就是，要求y=H(x)y=H(x)y=H(x)的图形与y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图形在这n+1个点处相切，因此x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn称为二重节点。在（1）式中有2(n+1)2(n+1)2(n+1)个条件，因此可以确定一个次数不超过2n+12n+12n+1次的插值多项式。仿照求Lagrange插值多项式的方法，设
H(x)=a0(x)y0+β0(x)m0+a1(x)y1+β1(x)m1+⋯+an(x)yn+βn(x)mH(x)=a_0(x)y_0+\beta_0(x)m_0+a_1(x)y_1+\beta_1(x)m_1+\cdots+a_n(x)y_n+\beta_n(x)m H(x)=a0(x)y0+β0(x)m0+a1(x)y1+β1(x)m1+⋯+an(x)yn+βn(x)m
或
H(x)=∑i=0n(ai(x)yi)+βi(x)miH(x)=\sum_{i=0}^n(a_i(x)y_i)+\beta_i(x)m_i H(x)=i=0∑n(ai(x)yi)+βi(x)mi
根据插值条件，ai(x)a_i(x)ai(x)和βi(x)\beta_i(x)βi(x)必须分别满足:
{ai(xk)={0,k≠i1,k=ii,k=0,1,⋯,nai′(xk)=0\begin{cases} a_i(x_k)=\begin{cases} 0,k\neq i \\ 1,k=i \quad i,k=0,1,\cdots,n\end{cases} \\ a_i'(x_k)=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ai(xk)={0,k=i1,k=ii,k=0,1,⋯,nai′(xk)=0
和
{βi(xk)=0βi′(xk)={0,k≠i1,k=i,i,k=0,1,⋯,n\begin{cases} \beta_i(x_k) = 0\\ \beta_i'(x_k)=\begin{cases}0,k\neq i \\ 1,k=i, \quad i,k=0,1,\cdots,n \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧βi(xk)=0βi′(xk)={0,k=i1,k=i,i,k=0,1,⋯,n
这样确定的αi(x)\alpha_i(x)αi(x)和βi(x)\beta_i(x)βi(x)称为Hermite插值基函数。显然，基函数ai(x)a_i(x)ai(x)与βi(x)\beta_i(x)βi(x)一旦确定下来，HermiteHermiteHermite插值多项式H(x)H(x)H(x)就确定出来了。下面导出ai(x)a_i(x)ai(x)和βi(x)\beta_i(x)βi(x)的具体形式：

（1）先确定βi(x)\beta_i(x)βi(x)。

由
βi(xk)=βi′(xk)=0(k≠i)\beta_i(x_k)=\beta_i'(x_k)=0 \quad(k\neq i) βi(xk)=βi′(xk)=0(k=i)
知βi(xi)\beta_i(x_i)βi(xi)以xk(k≠i)x_k(k\neq i)xk(k=i)为二重零点，又由
βi(xi)=0,βi′(xi)=1≠0\beta_i(x_i)=0, \quad \beta_i'(x_i)=1\neq 0 βi(xi)=0,βi′(xi)=1=0
知βi(x)\beta_i(x)βi(x)以xix_ixi为一重零点。由于βi(x)\beta_i(x)βi(x)为次数不超过2n+12n+12n+1的多项式，再根据Lagrange基函数li(x)l_i(x)li(x)的定义，可设
βi(x)=β^i×(x−xi)×li2(x),β^i为常数\beta_i(x)=\hat \beta_i \times(x-x_i)\times l_i^2(x), \quad \hat \beta_i为常数 βi(x)=β^i×(x−xi)×li2(x),β^i为常数
由βi′(xi)=1\beta_i'(x_i)=1βi′(xi)=1，得β^i=1\hat \beta_i=1β^i=1,故有：
βi(x)=(x−xi)li2(x)\beta_i(x)=(x-x_i)l_i^2(x) βi(x)=(x−xi)li2(x)
（2）再确定ai(x)a_i(x)ai(x)

同理，根据ai(x)a_i(x)ai(x)的定义，ai(x)a_i(x)ai(x)含有因子li2(x)l_i^2(x)li2(x)，故可令
ai(x)=(ax+b)×l22(x)a_i(x)=(ax+b)\times l_2^2(x) ai(x)=(ax+b)×l22(x)
其中，a，b为特定常数。于是由条件
{ai(xi)=1ai′(xi)=0\begin{cases} a_i(x_i)=1 \\ a_i'(x_i)=0 \end{cases} {ai(xi)=1ai′(xi)=0
可得出：
{axi+b=1a+2li′(xi)=0\begin{cases} ax_i+b=1 \\ a + 2l_i'(x_i)=0 \end{cases} {axi+b=1a+2li′(xi)=0
所以
{a=−2li′(xi)b=1+2xili′(xi)\begin{cases} a = -2l_i'(x_i) \\ b = 1+2x_il_i'(x_i) \end{cases} {a=−2li′(xi)b=1+2xili′(xi)
用对数法对li(x)=(x−x0)⋯(x−xl−1)(x−xl+1)⋯(x−xn)(xi−x0)⋯(xi−xi−1)(xi−xi+1)⋯(xi−xn)l_i(x)=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{l-1})(x-x_{l+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}li(x)=(xi−x0)⋯(xi−xi−1)(xi−xi+1)⋯(xi−xn)(x−x0)⋯(x−xl−1)(x−xl+1)⋯(x−xn)求导，得li′(xi)=∑k=0,k≠in1xi−xkl_i'(x_i)=\sum_{k=0,k\neq i}^n\frac{1}{x_i-x_k}li′(xi)=∑k=0,k=inxi−xk1，故
ai(x)=(1−2(x−xi)∑k=0,k≠1n1xi−xk)li2(x)a_i(x)=(1-2(x-x_i)\sum_{k=0,k\neq 1}^n\frac{1}{x_i-x_k})l_i^2(x) ai(x)=(1−2(x−xi)k=0,k=1∑nxi−xk1)li2(x)
即得到Hermite插值多项式为：
H(x)=∑i=0n{yi+(xi−x)[(2∑k=0,k≠in1xi−xk)yi−mi]}×li2(x)H(x)=\sum_{i=0}^n\{y_i+(x_i-x)[(2\sum_{k=0,k\neq i}^n\frac{1}{x_i-x_k})y_i-m_i]\}\times l_i^2(x) H(x)=i=0∑n{yi+(xi−x)[(2k=0,k=i∑nxi−xk1)yi−mi]}×li2(x)
（3）最后证明Hermit插值多项式惟一性

假设另有一个不超过2n+12n+12n+1次的多项式h(x)h(x)h(x)并满足Hermite插值条件，设
φ(x)=H(x)−h(x)\varphi(x)=H(x)-h(x) φ(x)=H(x)−h(x)
则有
φ(xi)=H(xi)−h(xi)=f(xi)−f(xi)=0,(i=0,1,⋯,n)\varphi(x_i)=H(x_i)-h(x_i)=f(x_i)-f(x_i)=0, \quad(i=0,1,\cdots,n) φ(xi)=H(xi)−h(xi)=f(xi)−f(xi)=0,(i=0,1,⋯,n)

φ′(xi)=H′(xi)−h′(xi)=mi−mi=0(i=0,1,⋯,n)\varphi'(x_i)=H'(x_i)-h'(x_i)=m_i-m_i=0 \quad(i=0,1,\cdots,n) φ′(xi)=H′(xi)−h′(xi)=mi−mi=0(i=0,1,⋯,n)

于是φ(x)\varphi(x)φ(x)有2n+2个零点，但是由于φ(x)\varphi(x)φ(x)是次数不超过2n+12n+12n+1的多项式，所以φ(x)≡0\varphi(x) \equiv 0φ(x)≡0，从而有：
H(x)=h(x)H(x)=h(x) H(x)=h(x)

2. Hermite插值余项

设f(x)f(x)f(x)在插值区间上有2n+2阶导数，令R(x)=f(x)−H(x)R(x)=f(x)-H(x)R(x)=f(x)−H(x)，由H(x)H(x)H(x)的定义知，xi(i=0,1,⋯,n)x_i(i=0,1,\cdots,n)xi(i=0,1,⋯,n)是R(x)R(x)R(x)的二重零点，因此R(x)R(x)R(x)含有(x−xi)(x-x_i)(x−xi)因子，故可设
R(x)=k(x)∏2(x)=k(x)⋅[(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)]2R(x)=k(x)\prod^2(x)=k(x)·[(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)]^2 R(x)=k(x)∏2(x)=k(x)⋅[(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)]2
作辅助函数
φ(t)=f(t)−H(t)−k(x)∏2(t)\varphi(t)=f(t)-H(t)-k(x)\prod^2(t) φ(t)=f(t)−H(t)−k(x)∏2(t)
则有
φ(xi)=0,φ′(xi)=0(i=0,1,⋯,n)\varphi(x_i)=0, \quad \varphi'(x_i)=0 \quad(i=0,1,\cdots,n) φ(xi)=0,φ′(xi)=0(i=0,1,⋯,n)

φ(x)=0\varphi(x)=0 φ(x)=0

所以，φ(t)\varphi(t)φ(t)至少有n+1个二重零点xi(i=0,1,⋯,n)x_i(i=0,1,\cdots,n)xi(i=0,1,⋯,n)和一个单零点x。按照Rolle定理，φ′(t)\varphi '(t)φ′(t)在x0,x1,⋯,xn,xx_0,x_1,\cdots,x_n,xx0,x1,⋯,xn,x每相邻两个零点之间各有一个零点，且x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn仍是φ′(t)\varphi'(t)φ′(t)的零点。所以φ′(t)\varphi'(t)φ′(t)至少有2n+2个零点。同理φ′′(t)\varphi''(t)φ′′(t)在插值区间内至少有2n+1个零点，依次类推，φ(2n+2)(t)\varphi^{(2n+2)}(t)φ(2n+2)(t)在插值区间内至少有一个零点ξ\xiξ，即：
φ(2n+2)(ξ)=f(2n+2)(ξ)−k(x)⋅(2n+2)!=0\varphi^{(2n+2)}(\xi)=f^{(2n+2)}(\xi)-k(x)·(2n+2)!=0 φ(2n+2)(ξ)=f(2n+2)(ξ)−k(x)⋅(2n+2)!=0
所以

由此得余项为：
R(x)=f(2n+2)(ξ)(2n+2)!∏2(2)其中ξ依赖于变量xR(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\prod^2(2) \quad 其中\xi依赖于变量x R(x)=(2n+2)!f(2n+2)(ξ)∏2(2)其中ξ依赖于变量x