一、考点归纳

二、课后习题

一、考点归纳

二、课后习题

1已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N（4.55，0.1082），现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μ＝4.55；H1：μ≠4.55
这是双侧检验，并且方差已知，检验的统计量Z值为：

而z0.025＝1.96＞|－1.833|，因此不能拒绝原假设，即可认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。

2有一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布，σ＝60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。

解：建立假设：
H0：μ≥700；H1：μ＜700
这是左侧检验，并且方差已知，检验统计量z为：

而－z0.05＝－1.645＞－2，因此拒绝原假设，即在显著性水平0.05下这批元件是不合格的。

3某地区小麦的一般生产水平为亩产250千克，其标准差为30千克。现用一种化肥进行试验，从25个地块抽样，平均产量为270千克。这种化肥是否使小麦明显增产（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μ≤250；H1：μ＞250

这是右侧检验，并且方差已知，检验的统计量z值为：

而z0.05＝1.645＜3.33，因此拒绝原假设，即这种化肥使小麦明显增产。

4糖厂用自动打包机打包，每包的标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位：千克）如下：99.3　98.7　100.5　101.2　98.3　99.7　99.5　102.1　100.5，已知每包的重量服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μ＝100；H1：μ≠100

由样本数据可得：

这是双侧检验，并且方差未知，又是小样本，故采用t统计量，检验统计量的值为：

而t0.025（8）＝2.306＞|－0.054|，因此不拒绝原假设，即该日打包机工作正常。

5某种大量生产的袋装食品按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，问该批食品能否出厂（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：π≤5%；H1：π＞5%
p＝6/50＝12%，

这是单侧检验，当α＝0.05时，有z0.05＝1.645＜2.27，因此拒绝原假设，即该批食品不能出厂。

6某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常条件下行驶距离超过目前的平均水平25000公里。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了试验，得到样本均值和标准差分别为27000公里和5000公里。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告所声称的内容是否真实（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μ≤25000；H1：μ＞25000
这是单侧检验，并且方差未知，又是小样本，故采用t统计量，检验统计量的值为：

而t0.05（14）＝1.761＞1.549，因此不能拒绝原假设，即该厂家的广告不真实。

7某种电子元件的寿命x（单位：小时）服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：

问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μ≤225；H1：μ＞225
由样本数据可得：

这是单侧检验，并且方差未知，又是小样本，故采用t统计量，检验统计量的值为：

而t0.05（15）＝1.753＞0.669，因此不能拒绝原假设，没有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时。

8随机抽取9个单位，测得结果分别为：

85　59　66　81　35　57　55　63　66，以α＝0.05的显著性水平对下述假设进行检验：H0：σ2≤100；H1：σ2＞100。

解：由样本数据可得：

这是单侧检验，并且均值未知，检验的统计量χ2值为：

所以拒绝原假设。

9A，B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且σA2＝632，σB2＝572。从A厂生产的材料中随机抽取81个样品，测得xA＝1070kg/cm2；从B厂生产的材料中随机抽取64个样品，测得xB＝1020kg/cm2。根据以上调查结果，能否认为A，B两厂生产的材料平均抗压强度相同（α＝0.05）？解：建立假设：
H0：μA－μB＝0；H1：μA－μB≠0
这是双侧检验，并且σA2、σB2已知，检验统计量的值为：

所以拒绝原假设。即不能认为A、B两厂生产的材料平均抗压强度相同。

10装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：

两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著差别（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：μA－μB＝0；H1：μA－μB≠0
由样本数据可得：

同理可得：xB＝28.67，sB2＝6.061。

这是双侧检验，且两总体为正态总体，方差相同，检验的统计量t为：

所以拒绝原假设，即这两种方法的装配时间有显著不同。

11调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点（α＝0.05）？

解：建立假设：
H0：π1－π2≤0（吸烟者不容易患慢性气管炎）
H1：π1－π2＞0（吸烟者容易患慢性气管炎）
这是单侧检验，检验的统计量z为：

所以拒绝原假设，即调查数据支持“吸烟者容易患慢性气管炎”的观点。

12为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款的数额不能超过60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下，贷款的平均规模是否明显地超过60万元，故一个n＝144的随机样本被抽出，测得x＝68.1万元，s＝45。在α＝0.01的显著性水平下采用P值进行检验。

解：建立假设：
H0：μ≤60；H1：μ＞60
这是单侧检验，且为大样本，检验统计量z为：

所以不能拒绝原假设，即贷款的平均规模没有明显地超过60万元。

13有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验证，研究人员把自愿参与实验的22000人随机平均分成两组，一组人员每星期服用三次阿司匹林（样本1），另一组人员在相同的时间服用安慰剂（样本2）。持续3年之后进行检测，样本1中有104人患心脏病，样本2中有189人患心脏病。以α＝0.05的显著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。

解：建立假设：
H0：π1－π2≥0（服用阿司匹林不可以降低心脏病发生率）
H1：π1－π2＜0（服用阿司匹林可以降低心脏病发生率）
这是单侧检验，检验的统计量z为：

所以拒绝原假设，即服用阿司匹林可以降低心脏病发生率。

14某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为7.0cm，方差为0.03cm2。今从一批螺栓中抽取80个测量其口径，得平均值为6.97cm，方差为0.0375cm2。假定螺栓口径服从正态分布，问这批螺栓是否达到规定的要求（α＝0.05）？

解：这批螺栓是否达到规定的要求，分别需要进行均值和方差两方面的检验。
（1）建立假设：
H0：μ＝7.0；H1：μ≠7.0
这是双侧检验，并且方差已知，检验的统计量z为：

所以不能拒绝原假设。

（2）建立假设：
H0：σ2＝0.03；H1：σ2≠0.03
这是双侧检验，检验的统计量χ2为：

由于χ0.9752（79）＝56.31＜98.75＜χ0.0252（79）＝105.5，所以不拒绝原假设。
综合（1）（2）可知，这批螺栓达到了规定的要求。

15有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了25名男生和16名女生，对他们进行了相同题目的测试。测试结果表明，男生的平均成绩为82分，方差为562，女生的平均成绩为78分，方差为49分2。假设显著性水平α＝0.02，从上述数据中能得到什么结论？

解：要判断在大学中男生的学习成绩是否比女生的学习成绩好，分别需要进行均值和方差两方面的检验。
（1）对均值检验
建立假设：
H0：σ12＝σ22；H1：σ12≠σ22
这是两总体的双侧检验，检验的统计量F为：
F＝s12/s22＝56/49＝1.143
由于F0.01（24，15）＝3.29，F0.99（24，15）＝0.346，则F0.99（24，15）＜F＜F0.01（24，15）所以不能拒绝原假设，说明两个总体方差无明显差异。
（2）对方差检验
建立假设：

H0：μA－μB＝0；H1：μA－μB≠0
这是两总体的双侧检验，检验的统计量t为：

所以不能拒绝原假设。
综合（1）（2）可知，并不能说明在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。

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