报童问题（3）-深入分析

先简要的回顾一下报童模型的定义和阐述：

每天早上，报童以批发价 c 元/份采购当天的报纸，然后以零售价 p 元/份售卖。如果当天报纸没有卖完，则以 s元/份的价格卖给废品回收站。不失一般性，假设 p > c > s。用随机变量 D DD 表示当天的需求量，并已知其概率分布。求使得期望收益最大的采购量x。

建立采购量为x情形下的利润函数如下：

注意：这里需要用到一个公式：
max(x,D)+min(x,D)=x+D; min(x,0）=-max(-x,0)

这里只有一个随机变量D，只有一个需要确定的决策变量x,因此可以得到该报童期望利润为：

其中 f ( d ) f(d)f(d) 为随机变量 D 的概率密度函数。上面式子中，由于D是在0到正无穷大区间内的，因此其期望就等于从0到无穷大区间内的积分。

为了获得最大的期望收益，因此我们需要对上面的式子求解关于决策变量x的导数并令导函数其为零，这就得到了下面的式子：

进一步地，解上面的式子，可以得到最优采购量的临界值为(Critical Fractile）。

使得期望收益最大的采购量也可以反求出来：

全文中的公式来源于：

报童问题的简单解法_虚胖一场的博客-CSDN博客_报童问题

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