sir模型matlab案例_下一代矩阵法amp;微分方程稳定性—

前段时间试着把真实数据代入SIR模型，用优化器解出

，代入

中获得基本再生数。令我困扰的是，基本再生数

的公式是怎么获得的？

随着进一步地接受科普，这个传染动力学中最简单的微分方程组似乎又一次帮助我巩固了打字速度，提升了使用搜索引擎的熟练度。

一、简介

在流行病学中，动力学模型存在2种稳定态（Equilibria）：

the disease-free equilibrium (DFE, 总人口中没有感染个体 e.g. SIR中的

)
the endemic equilibrium (感染者永续存在，

)

一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类：

(1) S 类，易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；

(2) E 类，暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；

(3) I 类，感病者 (Infectious)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；

(4) R 类，康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。

二、SIR模型

2.1 模型简介

(2-1)

(2-2)

(2-3)

总人数：

，

其中接触率β≥0，感染率γ≥0，该模型反映了S、I、R三种人数的流转关系：

SIR模型-各人群流转示意图

2.2

的计算（基于下一代矩阵法）

下一代矩阵法（the next-generation matrix method）被广泛用于流行病学、动态人口中基本再生数的计算（basic reproduction number）。受限于：看了半天实在看不下去了，具体的基础理论推导可以参考Diekmannet 、van den Driessche&Watmough 的文章，下面简单介绍下一代矩阵法的直接应用。

;

(2-5)

In the above equations,

represents the rate of appearance of new infections in compartment(仓室)

represents the rate of transfer of individuals into compartment(仓室)

by all other means, and

represents the rate of transfer of individuals out of compartment(仓室)

幸运的是：极简版SIR模型只有一个compartment(仓室)：

，可以快速得到：

对应：

对

分别求得雅可比矩阵:

;

SIR 对应的

则为

的最大特征值:

，

代入DFE(疾病消除稳态：S=N, I=0, R=0)

得证。

三、SIRS模型

3.1 模型简介

(3-1)

(3-2)

(3-3)

总人数：

，

加入了康复者失去免疫力的比例

3.2

的计算（基于下一代矩阵法）

再次幸运的是：极简版SIRS模型只有一个compartment(仓室)：

，可以快速得到：

对应：

对

分别求得雅可比矩阵:

;

SIR 对应的

则为

的最大特征值:

，

代入DFE(疾病消除稳态：S=N, I=0, R=0)

得证。

看起来这段

和上小节没有任何不同，

是在划水吗？不，此处引入稳定性分析。

3.3 稳定性分析

解方程组：

引理1 令

，则

为方程的正向不变集。

定理1：若

，则方程组只有

DEF(疾病消除点)

,并且是全局渐进稳定；

定理2：若

，则方程组只有

疾病永续点

是全局渐进稳定；

四、SEIR模型

不再幸运的是，SEIR模型有两个compartment(仓室)：

SEIR模型-各人群流转示意图

应用下一代矩阵法，首先划分X、Y向量

依据X、Y，写出X关于F、V的表达式：

的划分依据，见如下参考：

In the above equations,

represents the rate of appearance of new infections in compartment(仓室)

.

represents the rate of transfer of individuals into compartment(仓室)

by all other means, and

represents the rate of transfer of individuals out of compartment(仓室)

.

对F，V求雅可比矩阵：

SEIR模型对应的

则为

的最大特征值:

，

代入DFE(疾病消除稳态：

)

这个DFE疾病消除稳态的求解，同样是解方程组：S, E, I, R对t的一阶偏导=0

。

谢谢您的阅读，

本文由“走火入模”小组独家支持············································

[1]Diekmann, O.; Heesterbeek, J. A. P. (2000). Mathematical Epidemiology of I nfectious Disease. John Wiley & Son.
[2]Hefferenan, J. M.; Smith, R. J.; Wahl, L. M. (2005). "Prospective on the basic reproductive ratio". J. R. Soc. Interface. 2 (4): 281–93. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMC 1578275. PMID 16849186.
[3] Anna, C "Epidemic model"
[4]Blackwood J C, Childs L M. An introduction to compartmental modeling for the budding infectious disease modeler[J]. Letters in Biomathematics, 2018, 5(1): 195-221.
[5]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型（第四版）．北京：高等教育出版社，2011