【ACM International Collegiate Programming Contest Gym-100814 C】Connecting Graph【并查集按秩合并】

题意：

nnn个点，mmm个操作，操作共两类。①1uv①\ 1\ u\ v① 1 u v 表示在图中加一条边连接u、vu、vu、v，②2uv②\ 2\ u\ v② 2 u v 表示查询 uuu 与 vvv 最早是在哪一次加边操作后连通，不连通输−1-1−1。 (1≤n,m≤105)(1\leq n,m\leq 10^5)(1≤n,m≤105)

思路：

维护连通性，最直观的想法就是用并查集来维护连通性。但是如何通过并查集来查看两点最早什么时候连通呢？

首先可以知道并查集维护的其实是一个森林，假如我们不破坏树的结构，即不进行路径压缩，则并查集每次加边，则将边权定义为操作编号，那么两点树上边权最大值就是两点最早连通的加边操作。

因此问题变成如何维护树的结构进行并查集合并，方法就是按秩合并，将小的树合并到大的树上，这样可以保证每个节点最多被合并 log(n)log(n)log(n) 次，因此每个节点的高度最多为log(n)log(n)log(n)。因此对于每次查询，我们可以将两个点到根节点的路径直接取出，然后查询第一次遇到的位置，输出达到这个位置之前的边权最大值即可。

总结：

路径压缩并查集：速度快，最后会变成每棵树只有两层的森林，常见拓展为带权并查集。

按秩合并并查集：将小树合并到大树上，最后每个节点的高度最多为lognlognlogn，可以维护树的结构，采取的是树上启发式合并的思想。也可以对树上边权赋值，维护比较关系。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+100;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;int f[N],n,m,siz[N],d[N],flag[N],vis[N];int find(int x){if(x == f[x]) return x;else return find(f[x]);
}int solve(int u,int v){vis[u] = 1; flag[u] = 0; int w = 0;while(f[u] != u){w = max(w,d[u]);vis[f[u]] = 1; flag[f[u]] = w;u = f[u];}vis[u] = 1, flag[u] = w;w = 0;if(vis[v] == 1) return flag[v];while(f[v] != v){w = max(w,d[v]);if(vis[f[v]] == 1) return max(w,flag[f[v]]);v = f[v];}if(vis[v] == 1) return max(flag[v],w);
}void clear(int u){while(f[u] != u) vis[u] = 0, flag[u] = 0, u = f[u];vis[u] = 0, flag[u] = 0;
}int main()
{int _; scanf("%d",&_);while(_--){scanf("%d%d",&n,&m);rep(i,0,n) f[i] = i, d[i] = 0, siz[i] = 1;rep(i,1,m){int op,u,v; scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);int xu = find(u), xv = find(v);if(op == 1 && xu != xv){if(siz[xu] < siz[xv]) f[xu] = xv, d[xu] = i, siz[xv] += siz[xu];else f[xv] = xu, d[xv] = i, siz[xu] += siz[xv];}else if(op == 2){if(xu != xv) printf("-1\n");else{printf("%d\n",solve(u,v));clear(u);}}}}return 0;
}

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