基础集合论 第一章 7 交集 8 差集
交集
引理
对于集组 M≠∅,M \ne \emptyset, 集合 A={x∣∀X(X∈M⇒x∈X)}A = \{ x \mid \forall X (X \in M \Rightarrow x \in X) \} 存在且唯一。
为简化书写，可写成 A={x∣∀X∈M(x∈X)}A = \{ x \mid \forall X \in M ( x \in X) \}
证明：
由于 M≠∅,M \ne \emptyset, 可取 X0∈M,X_0 \in M, 于是
A={x∣∀X(X∈M⇒x∈X)}={x∈X0∣∀X(X∈M⇒x∈X)}A = \{ x \mid \forall X (X \in M \Rightarrow x \in X) \} = \{ x \in X_0 \mid \forall X (X \in M \Rightarrow x \in X) \}
定义
对于集组 M≠∅,M \ne \emptyset, 记 ∩(M)={x∣∀X∈M(x∈X)},\cap ( M ) =\{ x \mid \forall X \in M ( x \in X) \}, 并称之为集组 MM 的成员的交集。
性质
∩({A})=A\cap ( \{ A\} ) = A
证明：∩({A})={x∣∀X∈{A}(x∈X)}\cap ( \{ A\} ) = \{ x \mid \forall X \in \{ A\} ( x \in X) \}
={x∣∀X=A(x∈X)}= \{ x \mid \forall X = A ( x \in X) \}
={x∣x∈A}= \{ x \mid x \in A \}
=A= A
偶集的交
定义
对于任意一个偶集 {A,B},\{ A, B \}, 记 A∩B=∩({A,B}), A \cap B = \cap \left ( \{ A, B \} \right ), 称之为 AA 与 BB 的交集。
性质
- A∩B={x∣x∈A∧x∈B}, A \cap B = \{ x \mid x \in A \land x \in B \},
证明：
A∩B=∩({A,B}) A \cap B = \cap ( \{ A, B \})
={x∣∀X(X∈{A,B}⇒x∈X)}= \left \{ x \mid \forall X \left ( X \in \left \{ A, B \right \} \Rightarrow x \in X \right ) \right \}
={x∣∀X((X=A∨X=B)⇒x∈X)}= \left \{ x \mid \forall X \left ( \left (X = A \lor X = B \right ) \Rightarrow x \in X \right ) \right \}
={x∣x∈A∧x∈B},= \{ x \mid x \in A \land x \in B \}, - A∩B=B∩A A \cap B = B \cap A
- (A∩B)∩C=A∩(B∩C) ( A \cap B ) \cap C = A \cap ( B \cap C )
- A⊇A∩B A \supseteq A \cap B
- A∩∅=∅A \cap \emptyset = \emptyset
∪\cup 与 ∩\cap 的关系
- A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )
证明：
x∈A∩(B∪C)⇔x∈A∧x∈(B∪C)x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow x \in A \land x \in (B \cup C)
⇔x∈A∧(x∈B∨x∈C)\Leftrightarrow x \in A \land ( x \in B \lor x \in C)
⇔(x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C)\Leftrightarrow ( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C)
⇔(x∈A∩B)∨(x∈A∩C)\Leftrightarrow ( x \in A \cap B ) \lor ( x \in A \cap C)
⇔x∈(A∩B)∪(A∩C) \Leftrightarrow x \in ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) - A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )
证明：
x∈A∪(B∩C)⇔x∈A∨x∈(B∩C)x \in A \cup (B \cap C) \Leftrightarrow x \in A \lor x \in (B \cap C)
⇔x∈A∨(x∈B∧x∈C)\Leftrightarrow x \in A \lor ( x \in B \land x \in C)
⇔(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C)\Leftrightarrow ( x \in A \lor x \in B ) \land ( x \in A \lor x \in C)
⇔(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)\Leftrightarrow ( x \in A \cup B ) \land ( x \in A \cup C)
⇔x∈(A∪B)∩(A∪C) \Leftrightarrow x \in ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )
差集
引理
对于集合 A,B,A, B, 集合 C={x∣x∈A∧x∉B}C = \{x \mid x \in A \land x \not\in B \} 存在且唯一。
定义
对于集合 A,B,A, B, 集合 记 A−B={x∣x∈A∧x∉B},A-B = \{x \mid x \in A \land x \not\in B \}, 并称之为集合 AA 与 BB 的差集。
余集
定义
对于集合 A,E,A⊆E,A, E, A \subseteq E, 定义集合 E−AE - A 为集合 AA 的余集，简记做 A¯¯¯\overline A 。
de-Morgan 法则
对于集合 A,B,E,A⊆E,B⊆E,A, B, E, A \subseteq E, B \subseteq E,
1. A∪B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∩B¯¯¯\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B
证明：
x∈A∪B¯¯¯¯¯¯¯¯¯⇔x∈E∧x∉(A∪B)x \in \overline {A \cup B} \Leftrightarrow x \in E \land x \not \in (A \cup B)
⇔x∈E∧x∉A∧x∉B\Leftrightarrow x \in E \land x \not \in A \land x \not \in B
⇔(x∈E∧x∉A)∧(x∈E∧x∉B)\Leftrightarrow ( x \in E \land x \not \in A ) \land ( x \in E \land x \not \in B )
⇔x∈A¯¯¯∧x∈B¯¯¯\Leftrightarrow x \in \overline A \land x \in \overline B
⇔x∈A¯¯¯∩B¯¯¯\Leftrightarrow x \in \overline A \cap \overline B
2. A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B¯¯¯\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B
证明：
x∈A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯⇔x∈E∧x∉(A∩B)x \in \overline {A \cap B} \Leftrightarrow x \in E \land x \not \in (A \cap B)
⇔x∈E∧(x∉A∨x∉B)\Leftrightarrow x \in E \land ( x \not \in A \lor x \not \in B )
⇔(x∈E∧x∉A)∨(x∈E∧x∉B)\Leftrightarrow ( x \in E \land x \not \in A ) \lor ( x \in E \land x \not \in B )
⇔x∈A¯¯¯∨x∈B¯¯¯\Leftrightarrow x \in \overline A \lor x \in \overline B
⇔x∈A¯¯¯∪B¯¯¯\Leftrightarrow x \in \overline A \cup \overline B
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