1 研究数学方法论的意义和目的
 
什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。英文methodology一词又译为方法学。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自己的方法论。
数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。（确实，对于搞数学研究的人，掌握一定的方法论对于自己的研究也是大有好处的。只有更好地理解了数学，才能更深入地去研究数学。数学的发展不仅需要匠人，而是更需要大师。）
由于数学领域里的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法。所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辩证法。（数学的思维方式有时也可以推广到别的领域哟）
我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。（数学史满有意思的，可以理顺数学的脉络，并且也具有现实意义）
从近代数学发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾围绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还继续产生着不同程度的影响。（对数学基础的讨论在数学界虽然没有形成完全一致的看法，但并不影响数学的使用，尤其随着计算机的出现，对数学的使用大大地扩展了。可以看看《数学:确定性的丧失》一书（[美]M.克来因著,李宏魁译），我想它会给出一些答案。具体见
http://blog.csdn.net/mathsoperator/category/191770.aspx）
各个数学流派对待数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论观点，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点（关键是目前也没有见到“用科学的反映论观点分析总结出较为正确的数学方法论观点”的书哟，更不用谈形成一个数学流派了。所以类似的话还是不说为好呀，多做实际工作咯。）。因此，对于今日的数学工作者说来，无论是为了掌握、运用于或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映论观点（即辩证法的反映论观点）去考察问题和分析问题。（说教咯，大家已经受到很大影响啦）
2 宏观的方法论与微观的方法论
 
数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连，因此，数学发展规律的研究，如果撇开数学内在因素不提，那是属于宏观的数学方法论范畴。
数学工作者研究数学课题时，也可以不考虑数学发展的外在推动力，专就数学内部体系结构中的特定问题来进行分析研究，这样，就需要考虑采取最有效的数学研究方法，需要懂得数学发现与数学创造等各种法则。这些属于研究工作者个人必须遵循的方法与法则的研究，可以称之为微观的数学方法论。
看来，历史上最卓越的数学家如牛顿、欧拉、高斯、傅立叶、拉普拉斯等人，既精通微观的数学方法论，也懂得宏观的数学方法论。否则，他们的成就与贡献不可能对社会生产技术的发展产生那样深远的影响。一般说来，凡是具有历史眼光的数学家，他们的贡献成果，往往起着承上启下的作用，因而总是带有经久不灭的光辉。怎样才能获得“历史眼光”呢？这就需要通过数学史的研究去理解一些宏观数学方法论的基本知识。
这里值得介绍的是，美国数学教授M.Kline曾在1972年出版了一本厚达1200页的巨著—《古今数学思想》，系统地叙述和总结了古今数学思想发展史。该书包藏大量的题材，可作为我们研究数学方法论的一本宝贵的参考资料。还有E.T.Bell的一本名著《数学人物》（1937年版，1965年重版），其中翔实地记录了古今30位杰出数学家的生活经历与工作历史，也很有参考价值。
数学家成长规律的一般分析，显然也应属于宏观的方法论；但本书只着重讨论微观的数学方法论，所以仅借用希尔伯特成功的典型范例来描绘一下关于数学人才成长的社会因素的作用。
3 略论希尔伯特成功的社会因素
分析一位杰出数学家成功的社会因素，对于正在成长着的青年数学工作者和从事数学教育的数学教师们说来，都会得到有益的启发。这种分析至少对消除“天才自成”的糊涂思想，会起到一定的作用。
我们选择希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）这个例子。因为这位数学家的成长、发展和获得巨大成功的经历已经成为现代人才学上的一个典型例子。
按照历史唯物主义的观点来看，“天才人物”都是社会的产物。他们只有适应时代的要求，回答和解决历史进程中出现的重大问题，才能取得成功。分析任何一个天才人物成功的因素时，应当像恩格斯那样，不能离开当时社会历史条件和文化发展条件以及反映这些条件的时代要求。所以对希尔伯特的分析，也应遵循这样的原则。本节内容主要取材于《大连工学院自然辩证法通讯》上刘永振先生的一篇文章，该文显然是参考了希尔伯特传记写成的。
希尔伯特出身于东普鲁士的古都哥尼斯堡（现名加里宁格勒）。中、青年时代，他曾对代数不变式、代数数论、几何基础等科目作出了重要贡献。中年以后，他发展了变分法、积分方程、函数空间理论、数学物理方法、数理逻辑及证明论等数学分支。1899年出版的一本名著《几何学基础》，成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”。所以，希尔伯特是近代形式公理学派的创始人。1900年，年届38岁，他在国际数学会议上以卓越的远见和洞察力提出了数学上未解决的23个难题，即有名的“希尔伯特问题”，推动了半个多世纪以来各个数学分支的发展。
我们知道，19世纪70年代初，德国实现了统一，经济空前高涨，成为世界科学活动的主要中心，这是产生一大批德国数学家的主要社会原因。高水平的一群人才中，必有出类拔萃者。希尔伯特生逢盛世，成为出类拔萃者，这是历史的必然。下面再略作具体分析：
（一）文化传统的影响 希尔伯特故乡的哥尼斯堡建基于13世纪，后来成为东普鲁士首都，那是一个著名的大学城。它位于布勒尔河两条支流之间，那里有桥连着一个岛和一个半岛，而数学史上那个著名的为欧拉解决的自然环境和文化传统对于希尔伯特的成长来说是得天独厚的。
（二）家庭环境的影响 希尔伯特的父亲是一位普通的法官，母亲出生于普通商人家庭，但她爱好哲学、天文学和数学，特别对素数怀有浓厚的兴趣。这就影响了希尔伯特从小爱好数学。母亲每年在4月22日康德诞辰这一天，她总是带着小希尔伯特到康德墓地瞻仰康德的半身像，并且一字一句地拼读墙上刻着的康德的格言。这些对于希尔伯特从小爱科学，长大攀高峰，无疑会带来潜移默化的精神影响。
（三）社会舆论的影响 希尔伯特上小学二年级的时候，明可夫斯基一家从俄罗斯搬到了哥尼斯堡。明可夫斯基一家三兄弟当时称为三个“奇才”，以才能出众、性格迷人轰动了哥尼斯堡。特别是小神童明可夫斯基（Herman Minkowski 1864-1909）比希尔伯特小两岁，他的数学才能显著超过希尔伯特。他后来也成为大数学家，是数的几何（Geometry of Numbers）这一数论分支的创始人。
当时两家只有一河之隔。小明可夫斯基的数学才能出众对小希尔伯特不能不产生一种心理上的压力。确实，据希尔伯特后来的回忆录来看，他承认自己小时候并非天才，而是一个较愚钝的孩子，当然数学才能远远在明可夫斯基之下。在希尔伯特的亲友中，也没有人提到过希尔伯特的能力曾受到过人们的注意。但是人们对明可夫斯基一家三兄弟的赞赏却激励了小希尔伯特。特别是小神童明可夫斯基的数学天才像魔力一样征服了希尔伯特的心灵。
明可夫斯基刚满17岁时就解决了“将正整数表成五个平方数和”的难题，同英国老数学家Henry Smith合得了法国巴黎科学院数学大奖，因而更加出名。当时希尔伯特的父亲还告诫希尔伯特，说不要同那样出名的人交朋友（以免被别人瞧不起）。可是希尔伯特不顾父亲的反对，毅然同明可夫斯基结成了终身最要好的朋友。
尽管希尔伯特和明可夫斯基在早年智力上有明显的差距，然而通过不断努力，希尔伯特后来不仅成为与明可夫斯基相提并论的大数学家，而且对整个数学的贡献还远远超过了明可夫斯基。这说明一个人的先天素质（所谓“天资”或“秉赋”）并不是决定成就大小的主要因素。先天素质的不足，可以在后天的实践中加以补偿。
（四）学校教育的影响 希尔伯特童年时代上的德国小学校，特别注意基础教育，非常强调语文、语法、算术等科目的基本训练（尤其是语法一科，注重训练学生有条不紊地思维以及正确的表述思想的方式和方法）。希尔伯特进的中学和大学都充满自由学习的空气，这使他如鱼得水。
希尔伯特的青年时代是在哥尼斯堡大学度过的，那里有着浓厚的学术研究空气。著名的数学家Jacobi，Weierstrass，Weber，Lindemann等都在那里任教过，使该大学曾形成一个数学的研究中心。Lindemann曾以首先证明圆周率Pi为超越数而享有盛誉，他就是当年希尔伯特的学术导师。希尔伯特的学术论文原想研究“连分数的一种推广”。但经Lindemann指出，方知“那早已由Jacobi做出了”。在Lindemann的引导下，希尔伯特改搞“代数不变式理论”，结果大为成功。Lindemann对他的毕业论文极感满意。明可夫斯基在写给希尔伯特的信中也赞赏说：“这样精彩的数学定理会出现在哥尼斯堡真是值得庆贺……”。可见，获得第一流的教师指导引路，也是希尔伯特成功的因素之一。
哥尼斯堡大学曾讲授一些最新颖的数学科目，这样就往往能把年轻人很快带到数学研究领域的前沿，从事创造性地工作。此外，启发式教学法对希尔伯特的教益也很大。例如，他曾选学线性微分方程课程，当时Fuchs教授的讲课方法与众不同。Fuchs习惯于在讲课时把自己置于危险困难境地（可能是缺乏备课习惯），对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得希尔伯特和他的同学们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程是怎样进行的。
还有良师益友的互相切磋讨论，对希尔伯特的成长发展也起了十分重要的作用。当时希尔伯特和明可夫斯基的老师Hurwitz（他是一位只比希尔伯特大三岁的杰出数学家），非常器重两个学生。据说，每天下午准五点，三人必定相会，一起去苹果园散步，共同讨论问题，交流思想、交流研究心得。据希尔伯特后来回忆说，当年三个年轻人几乎考察了数学领域的每一个王国。可以想见，这应该是希尔伯特的才、学、识获得迅速成长的重要过程。假如没有这段经历，那么希尔伯特在1900年竟能在许多重要领域中一次提出那样多的著名难题，倒是不易想象的了。
以上我们概述了希尔伯特成功的社会因素。当然，他本人的勤奋努力和艰苦奋斗等内在因素也是保证他获得成就的重要条件。例如，在研究工作中希尔伯特曾耐心地计算过四十多重的重积分。即使面对非常繁重的计算任务，他也是具有计算到底的坚强毅力的。事实上，很难设想缺乏坚强毅力的人能取得科学上的巨大成就（关于希尔伯特的详尽记载请参考C.Reid “Hilbert”一书）！
从方法论观点看，关于如何为青年人创造一个既有良师又有益友的环境，如何采用启发式方法讲授一系列新颖课程，并诱导青年人很快走上科研前沿等问题，显然能从希尔伯特成长的历史规律中，获得应有的解答。
（希尔伯特当时所处的社会环境确实很不错，不像现在我们的整个社会都很浮躁，反映在数学界也是一样。要想在数学上有所成就，是要沉下心来做研究的。活到老，学到老，终有所得，终有所成。）
 
4 浅谈微观的数学方法论
每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科研工作，获得丰硕成果。教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。
（说得好，掌握一定的如何做研究的方法是很有好处的）
我们知道，美籍匈牙利数学家Pólya曾花数十年时间致力于“数学发现”与“解题思想方法”的研究。他的一些著作已被译成中文。特别值得重视的是他所著的《数学中的归纳与类比》（1954年出版）一书。在此书中作者曾选用不少富于启发性的例子说明归纳与类比方法如何成为发现数学真理的重要手段。
（Pólya写的这本书很好，有兴趣看一看咯）
18-19世纪有突出贡献的数学家欧拉(Euler，1707-1783)和高斯（Guass，1777-1855）都曾发表过一些经验之谈。欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验”。高斯也提到过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。
举例来说，欧拉关于多面体的面、顶、棱公式（F+V-E=2）显然就是从一批特殊的凸多面体的观察分析中归纳出来的。高斯青年时代曾著有《算术研究》（1801年出版的数论名著）一书，书中许多结果，包括著名的二次互反律等等，也都是首先从观察、实验、归纳过程中发现的。为什么数学真理如同物理科学领域中的定律和原理那样，有时可以通过实验与归纳方法去发现呢？原因很简单，因为数学对象本身（如数量关系与空间形式等）也具有客观实在性。
（在数学进入新的快速的发展阶段，以开拓数学的疆域为主，事情做得并不精细，不少证明也不严格，有些证明甚至是错误的，不过这些并没有影响数学的快速发展。现在对数学要求就严格很多。那我们现在如何来发现数学真理的，仍然是应用“归纳法”和“类比法”。）
历史上许多有贡献的数学家，可以说无例外地都是善于应用“归纳法”与“类比法”去发现真理的能手。尤其是欧拉的许多发现与贡献早已经进入中学数学教材和大学低年级的课程之中，所以讲讲欧拉的一些光辉例子，对青年学生似乎更有教育意义。
为了说明类比法的作用，这里我们来介绍一下数学家伯努利（Bernoulli，1654-1705）的一个级数求和难题，是怎样被欧拉攻破的。伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献。但他没有办法算出自然数倒数平方和的级数和1+1/4+1/9+1/16+1/25+…. 于是，他公开征求这一求和问题的解答，可惜直到他逝世时还未能见到有人解决此难题。这个难题过了数十年后才由欧拉解答出来。欧拉采用的方法就是一种巧妙的类比推理法。

这样，欧拉便完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和。

据说欧拉发现上述结果后，当时并未能给出严格证明，不免有点又惊又喜。于是他做了数值计算验证，对等式两边分别进行计算，得出的数值都等于1.644934…. 算到第七位数字都一致，这才使欧拉确信他的发现正确无疑。（这和实验物理学家发现物理定律时的态度多么相似！）当然，现今的数学分析教程中已有各种方法可以证明上述结果。

（欧拉的这个例子确实非常经典，确实用类比法的高手。形式上的相同给我以联想，给数学概念这间以横向联系。）
顺便提几句，在现代初、高等数学教育中，特别反映在教材与教学方法中，似乎过于偏重演绎论证的训练，把学生的注意力都吸引到形式论证（逻辑推理）的“严密性”上去，这对于培养学生的创造力来说实际上是不利的。当然，必要的逻辑推理训练不可少；但对于有作为的数学工作者来说，发现和创新比命题论证更重要。因为一旦抓到真理之后，补行证明往往只是时间问题。大数学家高斯早就谈过这种经验。当然也有例外，例如数学上有许多诱惑人心的“猜想”，看来似乎是“真”的，但却证明不了。其实很多猜想未必真正抓到真理，所以事后被证明是错的也不少。
（写得很不错。不过数学的严格性对于数学的发展是必要的。）
归纳法与类比法是数学方法论中最基本的方法之一，用好了能获得新的成果，乃至完成重要发现。但要真正用好也不容易。首先，要有敏锐的观察力，才能从众多的特例中归纳总结出一般性命题来。“特例”有时是现成的，有时却需要故意构造出来。要用好类比法需要有较丰富的数学知识，知识面较广，在数学思维中可用作类比推理的题材就越多，因而能形成普遍命题的机会（或发现数学一般真理的机会）也就越多。很难设想，知识面很窄的人能完成重大的发现。事实上，利用类比法形成普遍命题的过程是通过“联想-预见”来完成的。联想就要靠已有的知识为基础。
（实际上有些数学分支就是不同数学分支的交叉。要没有广阔的知识面，是不可能作出这样的联系的。）
一般说来，归纳与类比在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用如下图所示：
 
图1-1
形成的“普遍命题”在完成证明之前往往是一种猜想，因此，只有经过严格证明之后才能成为确定的定理或论断。但在许多情况下，“推广”和“预见”的过程中已经蕴含有普遍命题的直观论证或不甚严格的证明。这样，形成普遍命题的这一重要步骤实际已经完成了数学真理的发现工作。当然，从发现到证明有时也往往需要走一段艰苦的路程。
数学史上许多杰出的数学家往往既是发现与发明的能手，又是精于证明技巧的硬手。但是也能遇见这样两种数学家，一种专长于数学发现的专家，另一种是专长于论证的专家，按创造性数学思维来说，前者擅长于“发散思维”，后者较精于“收敛思维”。
在数学的创造性工作中，“抽象分析法”也是一种常用的重要方法。例如，欧拉解决哥尼斯堡七桥问题时，就是采用了这种方法。欧拉的解法在许多书中都有介绍。解决的基本步骤无非是：把人们步行过桥的问题经过分析，抽象成为一个“一笔画”问题，即一笔能否画出如下图形的问题。
（这个例子实际上并不难，但非常经典，好好体味。）
欧拉原来是这样想的：既然岛与半岛无非是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁通往的地点，那么就不妨把四处地点缩小（抽象）成四个点，并把七桥表示（抽象）成七条线，这样当然并不改变问题的实质。于是，人们企图一次无重复地走过七条桥的问题即等价于一笔画出上述图形的问题。这样的分析思考方法，就叫做“抽象分析法”或“数学模型法”。这里，一笔画问题中的几何图形就是七桥问题的数学模型。
接着，欧拉又考察了一笔画的结构特征，一笔画有个起点和终点（特别，起点与终点重合时便成为自封图形）。除起点与终点外，一笔画中出现的交点处曲线总是一进一出，故通过交点的曲线总是偶数条。如此说来，一笔画中至多只有两个点（即起点和终点）有可能通过奇数条曲线。我们看图1-2，立即发现四个点都通过奇数条曲线。因此，可以断言它不是一笔能够画出的图形。
图1-2
 
抽象分析法还能用来确立新的基本概念，导致数学新学科或新分支的产生。大家知道，随着现代计算机的发展已经产生了一门新的数学分科，叫作“计算理论”。英国数学家图灵（A.M.Turing，1912-1954）的工作在这整个历史发展过程中起着关键性的作用。要不是图灵当初彻底分析了计算的实质，并从理论上论证了“通用计算机”的可能性，也许当年电子计算机的发明与发展不会那样顺利而迅速。
什么是计算？多少世纪以来，人们都学习计算，经常使用计算，但在1936年前，从未有人对“计算”的本质进行过深刻的分析。图灵就是应用抽象分析法首先阐明计算本质的一位数学家。
我们仔细地观察不难发现，一个人进行笔算时总是把一些符号写在纸上，当计算中出现不同的特殊符号时，就改变计算的动作。而计算中者工作时用的是铅笔还是钢笔，用的纸是有行的、无行的或方格纸等，这些都与计算过程的实质无关。图灵在分析计算过程时，正是对过程中的一切无关因素加以舍弃，对过程进行去伪存真、去粗取精，才发现了计算的本质。这样才导致后来通用电子计算机的发明。
图灵分析了人们在从事计算时所遵循的最基本的法则。首先，他发现计算者可以把一切计算内容写在一条现行的带子上，至于通常使用的纸的二维性质并不是本质的。如果你愿意，可以不用普通纸带，而改用录音机用的那种磁带（当然，在后一情况里出现的符号将是磁信号而不是纸上写的符号，但在概念上并无本质区别）。所以，图灵由抽象分析法获得的一个重要结论是：一切实际计算过程都具有“线性”性质。
计算过程的本质既是线性的，就不妨假定线性的带子上划分为若干方格。我们知道，一切有理数均可采用二进位数表出。所以在图灵理想的计算机上，不妨规定线性带子的每一方格内可以记上一个符号0或1.
图灵对计算过程所作的第二步抽象分析是，一切计算过程的实质无非是每一步把在方格里看到的0换成1，或者把1换成0，或者有时需要把注意力转移到另一方格上去，不妨假定注意力的转移只限于从所看到的方格移到左右相邻的方格（这对计算过程的实质并无真正的限制）。
经过如上的抽象分析后，图灵便得出这样的结论：任何计算都可以看作是由一个人工计算者（或计算机器）来做的。它使用线性带子上成串的0或1，不外乎执行下列各指令：（1）写符号0；（2）写符号1；（3）向左移一格；（4）向右移一格；（5）观察现在扫描的符号并相应选择下一步骤；（6）停止。计算者所执行的程序，也就是这类指令所排列成的形式表。这样分析之后，计算过程的实质也就彻底搞清楚了。
（这实际上就是一个建模过程，抛除次要因素，凸显主要因素，从而得到计算的数学模型-图灵机。）
近代应用数学的另一重要分支是“信息论”。什么是信息？信息的含义是极其宽广的。不用说是人类，即使是一些禽兽间也以他们的特殊方式（如鸣叫声）传递信息，无论是报章、杂志、电视、电报、电话、广播乃至音乐演奏等都包含着信息的内容。所有这些，都有一个共性，即信息总是可以传递而且必须传递的。
信息既然要传递，就得考虑如何衡量信息量，这就需要建立信息的度量理论。怎样界定信息的度量概念呢？这又必须应用抽象分析方法。下面针对较直观的例子来分析。
以英文的26个字母为例，试问如何衡量它的信息量？如果只允许一个字母A出现，其它字母均不许出现，则信息量不妨规定为1，即定义为一个单位。在各个字母以等概率出现的情况下，26个英文字母所包含的信息量可以认为是26。又如果考虑由两个字母所拼成的字（假定每种拼法都赋予意义），则字的集合共含26×26个元素。根据信息与集合元素个数成正比的原则，该集合的信息量应该是26×26. 但信息量的这种按“乘法增加”，显然与直观预期不协调。直观上总希望按“加法增加”。因而可采用对数来衡量，即规定26个字母的信息为log26. 从而上述字母的集合的信息量便为
log(26×26)=log26+log26.
现在剩下的问题是，这个对数应以什么数为底？
正如许国志先生在《略谈应用数学的范畴》一文中所说的，中国古代的烽火台是最简单的信息传递的例子。“无火报平安，有火敌来袭。”这仅包含两个信息。因此，如果对数以2为底，那么烽火台所提供的信息便是log_2(2)=1. 由于任何事物的肯定与否定以及由于语言表述与逻辑的二值性都只包含两个信息，所以用2作底应该是最合理的。于是26个字母的平均信息量便是log_2(26)=4.7. 假定各字母出现的概率相同，则每个字母出现的概率都等于1/26. 因此上述信息量也可记成：-log_2(1/26)=4.7. 然而一般情形下，26个字母出现的概率可以各不相同。如果以p1, p2, …, p26分别代表字母A, B, …, Z出现的概率，那么按下述加权平均
-( p1 log_2(p1) + p2 log_2(p2) + … + pn log_2(p26) ),
算出的数值即等于诸字母的“平均信息量”。特别，诸字母以等概率1/26出现时，则由上式仍可得出-log_2(1/26)=4.7. 我们知道，上述公式正是信息度量理论中的基本公式（这个公式推广到一般集合的情形当然是显而易见的事）。
在上述分析过程中，我们事实上用到了从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法。
近代数学中比较普遍采用的“公理化方法”和应用数学领域里经常使用的“模型方法”，其实也都是抽象分析法的具体运用和表现。这些需要另辟专题，在后面将详细论述。
最后，我们对有兴趣钻研数学方法论的青年数学工作者，特提出如下几点希望和建议以供参考：（1）最好能抽出些时间主动阅读一点数学发展史，以加深对数学发展宏观规律的认识。（2）尽可能选读一些著名经典作家（数学家）的全集或选集中的若干代表性作品，以便领会某些卓越的心智活动法则和规律。（3）在可能范围内，最好能在数学科学（甚至是自然科学）的广阔领域中博览群书，以开拓自己的知识疆域，俾有利于发展自己的理解能力和想象能力。（4）宜通过辩证法的学习，尽早确立科学的反映论观点。
（建议比较好，尤其是第(2)条，值得去做哟。）

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