人工智能数学基础---定积分7：无界函数的反常积分计算

一、引言

在前面几篇文章中介绍了定积分的相关概念、性质和计算方法，具体文档请参考《人工智能数学基础专栏目录》导数、微分与积分部分的介绍。前面介绍的定积分都是基于有限固定区间来介绍的，但在实际中经常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的情况，这些求积分的计算已经不属于前面介绍的定积分的概念，它们都属于反常积分。本节介绍无界函数反常积分的计算方法。

二、无界函数反常积分相关概念

2.1、无界函数的瑕点和瑕积分

如果函数f(x)在点a的任意邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（也称为无界间断点）。

无界函数的反常积分也称为瑕积分。

2.2、无界函数的反常积分

2.2.1、下区间无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，任取t>a，作定积分并求极限：

这个对变下限的的定积分求极限的算式4-4称为函数f(x)在区间（a,b]上的反常积分，同样记为与函数f(x)在区间[a,b]上的定积分相同的表达式，即：

2.2.2、上区间无界函数的反常积分

与下区间无界函数类似，也有上区间无界函数，设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，任取t<b，作定积分并求极限：

这个对变上限的的定积分求极限的算式4-5称为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分，同样记为与函数f(x)在区间[a,b]上的定积分相同的表达式，即：

2.2.3、区间内的无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点，f(x)在区间[a,c)上的反常积分与在区间(c,b]上的反常积分之和称之为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，仍然记作：

即：

2.3、无界函数反常积分的收敛性

三种无界函数反常积分收敛性的定义：

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，如果极限（4-4）存在，那么称f(x)在区间（a,b]上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值。如果对应极限不存在，则称f(x)在区间（a,b]上的反常积分发散。
设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，如果极限（4-5）存在，那么称f(x)在区间[a,b)上的反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值。如果对应极限不存在，则称f(x)在区间[a,b)上的反常积分发散。
设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点，如果f(x)在区间[a,c)上的反常积分和在区间(c,b]上的反常积分都收敛，那么称函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分收敛，并称f(x)在区间[a,c)上的反常积分值与在区间(c,b]上的反常积分值的和为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分值，否则对应反常积分发散。

三、案例

案例1

这个反常积分表示如下阴影部分的面积：

案例2：

为什么q>1积分发散呢，这是因为（x-a）^1-q因为指数为负数，实际上应该是1/(x-a)^q-1，其分母极限为0导致的。

四、全开区间无界函数反常积分

上面介绍的无界函数的反常积分都是在半开有限区间或闭区间中存在一个瑕点的情况，但实际上可能会遇到全开区间（两个端点可能是瑕点）或无穷区间的情况。这种情况下，在满足一定条件下，可以通过换元法化为有限区间的无界函数。

案例：

四、小结

本节介绍了无界函数的反常积分概念，三种无界函数反常积分在瑕点的极限值如果存在，则无界函数的反常积分存在且收敛，同样可以利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算则无界函数的反常积分，否则该反常积分发散，无法求出。

实际上无论是无穷限函数还是无界函数，其反常积分如果存在，都可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，通过计算极限结合牛顿-莱布尼茨公式计算出最终结果。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

写博不易，敬请支持：

如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！

关于老猿的付费专栏

付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》；
付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》；
付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录》
付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理》的学习使用。

对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。

如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。

老猿Python，跟老猿学Python！

☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython ░