七夕祭

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AcWing_105 七夕祭

题目描述

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。

于是 TYVJTYVJTYVJ 今年举办了一次线下七夕祭。

VaniVaniVani 同学今年成功邀请到了 clclcl 同学陪他来共度七夕，于是他们决定去 TYVJTYVJTYVJ 七夕祭游玩。

TYVJTYVJTYVJ 七夕祭和 111111 区的夏祭的形式很像。

矩形的祭典会场由 NNN 排 MMM 列共计 N×MN×MN×M 个摊点组成。

虽然摊点种类繁多，不过 clclcl 只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。

VaniVaniVani 预先联系了七夕祭的负责人 zhqzhqzhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中 clclcl 感兴趣的摊点数一样多，并且各列中 cl 感兴趣的摊点数也一样多。

不过 zhqzhqzhq 告诉 VaniVaniVani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足 cl 的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。

两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。

由于 zhqzhqzhq 率领的 TYVJTYVJTYVJ 开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。

现在 VaniVaniVani 想知道他的两个要求最多能满足多少个。

在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数 NNN 和 MMM 和 TTT，TTT 表示 cl 对多少个摊点感兴趣。

接下来 TTT 行，每行两个整数 x,yx,yx,y，表示 cl 对处在第 xxx 行第 yyy 列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。

如果能满足 VaniVaniVani 的全部两个要求，输出 bothbothboth；

如果通过调整只能使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 rowrowrow；

如果只能使各列中 clclcl 感兴趣的摊点数一样多，输出 columncolumncolumn；

如果均不能满足，输出 impossibleimpossibleimpossible。

如果输出的字符串不是 impossibleimpossibleimpossible，接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

数据范围

1≤N,M≤100000,0≤T≤min(N∗M,100000),1≤x≤N,1≤y≤M1≤N,M≤100000,\\ 0≤T≤min(N∗M,100000),\\ 1≤x≤N,\\ 1≤y≤M1≤N,M≤100000,0≤T≤min(N∗M,100000),1≤x≤N,1≤y≤M

输入样例：

输出样例：

row 1

思路

由于交换同一列相邻两行的摊位只会改变相关行的“感兴趣摊点数”，交换同一行相邻两列的摊位只会改变相关列的“感兴趣摊点数”，所以可以将问题分成“各列相邻两行的交换”和“各行相邻两列的交换”两部分来解。

以“各行相邻两列的交换”为例。

设 aia_iai 为每一列的“感兴趣摊点数”，其中 1≤i≤m1 \le i \le m1≤i≤m ，若问题有解，那么交换完成后，每个 ai′a'_iai′ 一定都是相等的，即 ttt 可以被 mmm 整除。这样问题就变成了“均分纸牌”问题。

最优的结果一定是只与右侧（或左侧）的摊位交换的。

设 xix_ixi 为第 iii 列与第 i−1i-1i−1 列交换的次数（可以为负），aˉ=i∗tm\bar{a}=i*\frac{t}{m}aˉ=i∗mt，那么我们有：
x1=x1x2=a2+x1−aˉx3=a3+x2−aˉx4=a4+x3−aˉxi=ai+xi−1−aˉx_1=x_1\\ x_2=a_2+x_1-\bar{a}\\ x_3=a_3+x_2-\bar{a}\\ x_4=a_4+x_3-\bar{a}\\ x_i=a_i+x_{i-1}-\bar{a}x1=x1x2=a2+x1−aˉx3=a3+x2−aˉx4=a4+x3−aˉxi=ai+xi−1−aˉ

如果把所有式子都用 x1x_1x1 来表示，则有：
x1=x1−0x2=x1−(aˉ−a2)x3=x1−(2×aˉ−a2−a3)x4=x1−(3×aˉ−a2−a3−a4)xi=x1−(i×aˉ−∑j=1iai)x_1=x_1-0\\ x_2=x_1-(\bar{a}-a_2)\\ x_3=x_1-(2 \times \bar{a}-a_2-a_3)\\ x_4=x_1-(3 \times \bar{a}-a_2-a_3-a_4)\\ x_i=x_1-(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_i)x1=x1−0x2=x1−(aˉ−a2)x3=x1−(2×aˉ−a2−a3)x4=x1−(3×aˉ−a2−a3−a4)xi=x1−(i×aˉ−j=1∑iai)

于是问题就变成了，求一个最优的 xkx_kxk，使得 ∑i=1n∣xk−(i×aˉ−∑j=1iai)∣\sum_{i=1}^n |x_k-(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_i)|∑i=1n∣xk−(i×aˉ−∑j=1iai)∣ 最小。这实际上就是“货仓选址”问题，其中 ∣xk−(i×aˉ−∑j=1iai)∣|x_k-(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_i)|∣xk−(i×aˉ−∑j=1iai)∣ 就相当于“货仓选址”问题中每个货仓的地址。很显然，只有 xkx_kxk 为所有 xix_ixi 的中位数时，问题的答案才有最小值，详情请见。

由于：xk=∑i=1n∣xk−(i×aˉ−∑j=1iai)∣x_k=\sum_{i=1}^n |x_k-(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_i)|xk=i=1∑n∣xk−(i×aˉ−j=1∑iai)∣
所以答案的式子还可以表示成：∑i=1n∣(i×aˉ−∑j=1kaj)−(i×aˉ−∑j=1iai)∣\sum_{i=1}^n |(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^k a_j)-(i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_i)|i=1∑n∣(i×aˉ−j=1∑kaj)−(i×aˉ−j=1∑iai)∣

若设 si=i×aˉ−∑j=1iais_i=i\times \bar{a}-\sum_{j=1}^i a_isi=i×aˉ−∑j=1iai，那么最后答案的式子就变成了：
∑i=1n∣sk−si∣\sum_{i=1}^n |s_k-s_i|i=1∑n∣sk−si∣

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,m,t,x,y;
long long row[100001],col[100001];
long long solve(long long a[100001],long long x)
{int f[100001],s[100001],ans,k;for(int i=1;i<=x;i++){f[i]=a[i]-t/x;s[i]=s[i-1]+f[i];}sort(s+1,s+x+1);if(n&1)//求中位数 k=(x+1)/2;elsek=x/2;ans=0;for(int i=1;i<=x;i++)ans+=abs(s[i]-s[k]);return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);for(int i=1;i<=t;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);row[x]++,col[y]++;}if(t%n==0&&t%m==0)printf("both %lld",solve(row,n)+solve(col,m));else if(t%m==0)printf("column %lld",solve(col,m));else if(t%n==0)printf("row %lld",solve(row,n));elseprintf("impossible");return 0;
}

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